Давайте решим данные задачи по очереди.
Задача 6
Условие: Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 58, и одна сторона на 5 больше другой.
Обозначим стороны прямоугольника как (a) и (b), причем (a = b + 5). Периметр прямоугольника равен (2(a + b) = 58).
Подставим (a) в уравнение периметра:
[
2((b + 5) + b) = 58
]
[
2(2b + 5) = 58
]
[
4b + 10 = 58
]
[
4b = 48
]
[
b = 12
]
Теперь найдем (a):
[
a = b + 5 = 12 + 5 = 17
]
Теперь можно найти площадь прямоугольника:
[
S = a \cdot b = 17 \cdot 12 = 204
]
Ответ: Площадь прямоугольника равна 204.
Задача 3
Условие: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.
Пусть (a = 4) – один из катетов. Так как угол равен 45°, значит второй катет тоже равен 4 (по свойству прямоугольного треугольника с углом 45°).
Теперь найдем площадь треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8
]
Ответ: Площадь треугольника равна 8.
Задача 19
Условие: Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
]
где (a = 12) – основание, а (h = 33) – высота.
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 33 = \frac{396}{2} = 198
]
Ответ: Площадь треугольника равна 198.
Задача 16
Условие: В трапеции ABCD известно, что AD = 6, BC = 2, а её площадь равна 32. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h
]
где (a = AD), (b = BC), а (h) – высота трапеции.
Площадь трапеции ABCD равна 32, а основание (AD = 6), (BC = 2).
Сначала найдем среднюю линию MN:
[
MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4
]
Теперь найдем высоту (h) трапеции:
[
32 = \frac{1}{2} \cdot (6 + 2) \cdot h
]
[
32 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h
]
[
32 = 4h
]
[
h = 8
]
Теперь найдём площадь трапеции BCNM:
[
S_{BCNM} = \frac{1}{2} \cdot (BC + MN) \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot (2 + 4) \cdot 4 = 12
]
Ответ: Площадь трапеции BCNM равна 12.
