6. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 58 и одна сторона на 5 больше другой. 3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий…

Давайте решим данные задачи по очереди.

Задача 6

Условие: Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 58, и одна сторона на 5 больше другой.

Обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\), причем \(a = b + 5\). Периметр прямоугольника равен \(2(a + b) = 58\).

Подставим \(a\) в уравнение периметра:

\[ 2((b + 5) + b) = 58 \] \[ 2(2b + 5) = 58 \] \[ 4b + 10 = 58 \] \[ 4b = 48 \] \[ b = 12 \]

Теперь найдем \(a\): \[ a = b + 5 = 12 + 5 = 17 \]

Теперь можно найти площадь прямоугольника: \[ S = a \cdot b = 17 \cdot 12 = 204 \]

Ответ: Площадь прямоугольника равна 204.

Задача 3

Условие: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Пусть \(a = 4\) – один из катетов. Так как угол равен 45°, значит второй катет тоже равен 4 (по свойству прямоугольного треугольника с углом 45°).

Теперь найдем площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8 \]

Ответ: Площадь треугольника равна 8.

Задача 19

Условие: Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \(a = 12\) – основание, а \(h = 33\) – высота.

Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 33 = \frac{396}{2} = 198 \]

Ответ: Площадь треугольника равна 198.

Задача 16

Условие: В трапеции ABCD известно, что AD = 6, BC = 2, а её площадь равна 32. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h \] где \(a = AD\), \(b = BC\), а \(h\) – высота трапеции.

Площадь трапеции ABCD равна 32, а основание \(AD = 6\), \(BC = 2\).

Сначала найдем среднюю линию MN: \[ MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \]

Теперь найдем высоту \(h\) трапеции: \[ 32 = \frac{1}{2} \cdot (6 + 2) \cdot h \] \[ 32 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h \] \[ 32 = 4h \] \[ h = 8 \]

Теперь найдём площадь трапеции BCNM: \[ S_{BCNM} = \frac{1}{2} \cdot (BC + MN) \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot (2 + 4) \cdot 4 = 12 \]

Ответ: Площадь трапеции BCNM равна 12.