для функции f(x)=x^2-8: 1.Найдите промежутки, где функция положительна и отрицательна 2.Определите промежутки возрастания и убывания

Давайте проанализируем функцию \( f(x) = x^2 - 8 \).

1. Найдем промежутки, где функция положительна и отрицательна.

Сначала найдем нули функции: \[ f(x) = 0 \implies x^2 - 8 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}. \] Таким образом, нули функции находятся в точках \( x = -2\sqrt{2} \) и \( x = 2\sqrt{2} \).

Теперь определим знаки функции на интервалах, разделённых этими нулями:

• Для интервала \( (-\infty, -2\sqrt{2}) \): \[ f(-3) = (-3)^2 - 8 = 9 - 8 = 1 \quad (\text{положительно}). \]
• Для интервала \( (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \): \[ f(0) = 0^2 - 8 = -8 \quad (\text{отрицательно}). \]
• Для интервала \( (2\sqrt{2}, +\infty) \): \[ f(3) = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1 \quad (\text{положительно}). \]

Следовательно, функция положительна на интервалах \( (-\infty, -2\sqrt{2}) \) и \( (2\sqrt{2}, +\infty) \), и отрицательна на интервале \( (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \).

2. Определим промежутки возрастания и убывания.

Найдём производную функции \( f(x) = x^2 - 8 \): \[ f'(x) = 2x. \] Теперь находим точки, где производная равна нулю: \[ 2x = 0 \implies x = 0. \]

Теперь рассмотрим знак производной на интервалах, разделённых точкой \( x = 0 \):

• Для интервала \( (-\infty, 0) \): \[ f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \quad (\text{отрицательно}). \] Это значит, что функция убывает на интервале \( (-\infty, 0) \).

• Для интервала \( (0, +\infty) \): \[ f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \quad (\text{положительно}). \] Это значит, что функция возрастает на интервале \( (0, +\infty) \).

Итоги:

• Функция положительна на интервалах \( (-\infty, -2\sqrt{2}) \) и \( (2\sqrt{2}, +\infty) \); отрицательна на интервале \( (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \).
• Функция убывает на \( (-\infty, 0) \) и возрастает на \( (0, +\infty) \).