Давайте обозначим:
- ( a ) — меньшее основание трапеции (12),
- ( b ) — большее основание трапеции (16),
- ( c ) — боковая сторона трапеции,
- ( d ) — диагональ трапеции, которая равна длине большего основания (16).
Для равнобедренной трапеции можно использовать теорему косинусов. Если провести перпендикуляры из концов меньшего основания к большему, то получим два прямоугольных треугольника.
Обозначим:
- ( h ) — высота трапеции,
- ( x ) — половина разности оснований: ( x = \frac{b - a}{2} = \frac{16 - 12}{2} = 2 ).
Сторона трапеции образует треугольник с высотой и половиной разности оснований, и по теореме Пифагора можно записать:
[
c^2 = h^2 + x^2.
]
Теперь нам необходимо найти высоту ( h ). Для этого воспользуемся формулой для диагонали равнобедренной трапеции:
[
d^2 = h^2 + (x + a)^2.
]
Поскольку ( d = 16 ):
[
16^2 = h^2 + (2 + 12)^2,
]
[
256 = h^2 + 14^2,
]
[
256 = h^2 + 196.
]
Теперь решим уравнение:
[
h^2 = 256 - 196,
]
[
h^2 = 60,
]
[
h = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}.
]
Теперь, подставим высоту ( h ) и значение ( x ) в выражение для боковой стороны ( c ):
[
c^2 = h^2 + x^2,
]
[
c^2 = 60 + 2^2 = 60 + 4 = 64,
]
[
c = \sqrt{64} = 8.
]
Таким образом, боковая сторона равнобедренной трапеции равна 8.
