В каждом из 4 ящиков по 5 белых и по 15 чёрных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть 2 белых и 2 чёрных шара?
Для решения задачи давайте обозначим количество белых и черных шаров в одном ящике:
- Белые шары: \( B = 5 \)
- Черные шары: \( C = 15 \)
Всего шаров в одном ящике: \[ T = B + C = 5 + 15 = 20 \]
Так как у нас 4 ящика, и мы будем вытаскивать по одному шару из каждого ящика, нам нужно посчитать вероятность того, что мы получим 2 белых и 2 черных шара.
Сначала подсчитаем общее количество способов выбрать 4 шара из 4 ящиков: \[ \text{Общее количество способов} = 20^4 \]
Теперь подсчитаем количество способов выбрать 2 белых и 2 черных шара из 4 ящиков.
Выбор ящиков для белых шаров: Мы выбираем 2 из 4 ящиков для белых шаров. Это можно сделать: \[ \binom{4}{2} = 6 \text{ способов} \]
Выбор белых шаров: Для каждого выбранного ящика мы можем выбрать один из 5 белых шаров. Поскольку мы выбрали 2 ящика для белых, количество способов выбора белых шаров: \[ 5^2 = 25 \text{ способов} \]
Выбор черных шаров: В оставшихся 2 ящиках мы можем выбрать 1 черный шар из 15 возможных в каждом ящике: \[ 15^2 = 225 \text{ способов} \]
Теперь мы можем подсчитать общее количество благоприятных случаев (2 белых и 2 черных шара): \[ \text{Общее количество благоприятных случаев} = 6 \cdot 25 \cdot 225 = 33750 \]
Теперь мы можем найти вероятность того, что из 4 ящиков мы вынем 2 белых и 2 черных шара: \[ P = \frac{\text{Общее количество благоприятных случаев}}{\text{Общее количество способов}} = \frac{33750}{20^4} = \frac{33750}{160000} = \frac{3375}{16000} \]
Таким образом, вероятность того, что из 4 ящиков будут вынуты 2 белых и 2 черных шара, равна: \[ \frac{3375}{16000} \approx 0.2109 \]
Или в дробном виде: \[ \frac{27}{128} \]
Таким образом, вероятность вынуть 2 белых и 2 черных шара составляет \( \frac{27}{128} \).
