имеется 100 урн с белыми и черными шарами. Вероятность появления белого шара из каждой урны равно 0,6. Найти наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые.
Для решения задачи можно использовать метод максимального правдоподобия.
Обозначим количество урн, в которых все шары белые, как \( k \). Вероятность того, что в данной урне все шары белые составляет \( 0.6 \), а вероятность, что в урне есть хотя бы один черный шар — \( 1 - 0.6 = 0.4 \).
Если у нас есть 100 урн, то вероятность того, что в \( k \) из них все шары белые, а в оставшихся \( 100 - k \) по крайней мере один черный шар, будет равна:
\[ P(k) = (0.6)^k \cdot (0.4)^{100-k} \]
Мы можем найти наибольшую вероятность, максимизируя функцию \( P(k) \). Для этого мы можем взять логарифм этой функции (так как логарифм строго возрастающий), что упростит вычисления:
\[ \log(P(k)) = k \log(0.6) + (100-k) \log(0.4) \]
Отлично, теперь найдем производную:
\[ \frac{d}{dk} \log(P(k)) = \log(0.6) - \log(0.4) \]
Мы ищем значение \( k \), при котором эта производная равна 0:
\[ \log(0.6) - \log(0.4) = 0 \implies \log(0.6) = \log(0.4) \]
Так как это не равенство, нам нужно просто оценить:
\[ \log(0.6) \approx -0.2218, \quad \log(0.4) \approx -0.3979 \]
Это приведет нас к тому, что \( \log(0.6) > \log(0.4) \).
Теперь мы можем взглянуть на значение:
Критический момент находится на \( k \to \) максимум. Поэтому, давайте исследовать граничные значения:
- Если \( k = 0 \): \[ P(0) = (0.4)^{100} \]
- Если \( k = 100 \): \[ P(100) = (0.6)^{100} \]
Но у нас сравнение \( (0.4)^{100} \) versus \( (0.6)^{100} \). Наибольшая вероятность достигается при \( k = 60 \), что соответствует значению 60.
Таким образом, наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые, составляет 60.
