Для решения задачи можно использовать метод максимального правдоподобия.
Обозначим количество урн, в которых все шары белые, как ( k ). Вероятность того, что в данной урне все шары белые составляет ( 0.6 ), а вероятность, что в урне есть хотя бы один черный шар — ( 1 - 0.6 = 0.4 ).
Если у нас есть 100 урн, то вероятность того, что в ( k ) из них все шары белые, а в оставшихся ( 100 - k ) по крайней мере один черный шар, будет равна:
[
P(k) = (0.6)^k \cdot (0.4)^{100-k}
]
Мы можем найти наибольшую вероятность, максимизируя функцию ( P(k) ). Для этого мы можем взять логарифм этой функции (так как логарифм строго возрастающий), что упростит вычисления:
[
\log(P(k)) = k \log(0.6) + (100-k) \log(0.4)
]
Отлично, теперь найдем производную:
[
\frac{d}{dk} \log(P(k)) = \log(0.6) - \log(0.4)
]
Мы ищем значение ( k ), при котором эта производная равна 0:
[
\log(0.6) - \log(0.4) = 0 \implies \log(0.6) = \log(0.4)
]
Так как это не равенство, нам нужно просто оценить:
[
\log(0.6) \approx -0.2218, \quad \log(0.4) \approx -0.3979
]
Это приведет нас к тому, что ( \log(0.6) > \log(0.4) ).
Теперь мы можем взглянуть на значение:
Критический момент находится на ( k \to ) максимум. Поэтому, давайте исследовать граничные значения:
- Если ( k = 0 ):
[
P(0) = (0.4)^{100}
]
- Если ( k = 100 ):
[
P(100) = (0.6)^{100}
]
Но у нас сравнение ( (0.4)^{100} ) versus ( (0.6)^{100} ). Наибольшая вероятность достигается при ( k = 60 ), что соответствует значению 60.
Таким образом, наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые, составляет 60.
