найди катеты прямоугольного треугольника если известно,что их сумма равна 17 см,а площадь 30 см в квадрате

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \). Согласно условию задачи, мы имеем две уравнения:

1. \( a + b = 17 \) (сумма катетов)
2. \( \frac{1}{2}ab = 30 \) (площадь треугольника)

Из первого уравнения выразим \( b \):

\[ b = 17 - a \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ \frac{1}{2}a(17 - a) = 30 \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ a(17 - a) = 60 \]

Раскроем скобки:

\[ 17a - a^2 = 60 \]

Переносим все члены в одну сторону:

\[ -a^2 + 17a - 60 = 0 \]

Умножим уравнение на -1:

\[ a^2 - 17a + 60 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого применим формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 \]

Теперь находим корни:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2} \]

Получаем два значения для \( a \):

1. \( a_1 = \frac{24}{2} = 12 \)
2. \( a_2 = \frac{10}{2} = 5 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( b \):

• Если \( a = 12 \), то \( b = 17 - 12 = 5 \).
• Если \( a = 5 \), то \( b = 17 - 5 = 12 \).

Таким образом, катеты равны 5 см и 12 см.