Обозначим катеты прямоугольного треугольника как ( a ) и ( b ). Согласно условию задачи, мы имеем две уравнения:
- ( a + b = 17 ) (сумма катетов)
- ( \frac{1}{2}ab = 30 ) (площадь треугольника)
Из первого уравнения выразим ( b ):
[ b = 17 - a ]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
\frac{1}{2}a(17 - a) = 30
]
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
a(17 - a) = 60
]
Раскроем скобки:
[
17a - a^2 = 60
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
-a^2 + 17a - 60 = 0
]
Умножим уравнение на -1:
[
a^2 - 17a + 60 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого применим формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49
]
Теперь находим корни:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2}
]
Получаем два значения для ( a ):
- ( a_1 = \frac{24}{2} = 12 )
- ( a_2 = \frac{10}{2} = 5 )
Теперь найдем соответствующие значения ( b ):
- Если ( a = 12 ), то ( b = 17 - 12 = 5 ).
- Если ( a = 5 ), то ( b = 17 - 5 = 12 ).
Таким образом, катеты равны 5 см и 12 см.
