9. В треугольнике АВС АС = BC = 1, AB = √3. Найдите его углы. С подробным решением

Мы знаем длины сторон треугольника \( ABC \):

• \( AC = BC = 1 \) (катеты),
• \( AB = \sqrt{3} \) (гипотенуза).

Это треугольник с двумя равными сторонами, следовательно, он изососедний (равнобедренный). На основании этого мы можем обозначить угол при вершине \( A \) как \( \alpha \), а угол при вершине \( B \) как \( \alpha \) также (так как треугольник равнобедренный). Угол при вершине \( C \) тогда будет равен \( 180^\circ - 2\alpha \).

Согласно теореме косинусов для треугольника \( ABC \):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

где:

• \( c = AB = \sqrt{3} \)
• \( a = AC = 1 \)
• \( b = BC = 1 \)

Подставим известные значения в формулу:

\[ (\sqrt{3})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(C) \]

посчитаем это:

\[ 3 = 1 + 1 - 2\cos(C) \] \[ 3 = 2 - 2\cos(C) \] \[ 3 - 2 = -2\cos(C) \] \[ 1 = -2\cos(C) \] \[ \cos(C) = -\frac{1}{2} \]

Теперь найдем угол \( C \):

\[ C = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \]

Теперь найдём углы \( A \) и \( B \). Так как \( A \) и \( B \) равны:

\[ A + B + C = 180^\circ \] \[ 2\alpha + 120^\circ = 180^\circ \] \[ 2\alpha = 60^\circ \] \[ \alpha = 30^\circ \]

Таким образом, углы треугольника \( ABC \):

\[ A = 30^\circ, \quad B = 30^\circ, \quad C = 120^\circ \]

Ответ: углы треугольника \( ABC \) равны \( 30^\circ, 30^\circ, 120^\circ \).