Мы знаем длины сторон треугольника ( ABC ):
- ( AC = BC = 1 ) (катеты),
- ( AB = \sqrt{3} ) (гипотенуза).
Это треугольник с двумя равными сторонами, следовательно, он изососедний (равнобедренный). На основании этого мы можем обозначить угол при вершине ( A ) как ( \alpha ), а угол при вершине ( B ) как ( \alpha ) также (так как треугольник равнобедренный). Угол при вершине ( C ) тогда будет равен ( 180^\circ - 2\alpha ).
Согласно теореме косинусов для треугольника ( ABC ):
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
где:
- ( c = AB = \sqrt{3} )
- ( a = AC = 1 )
- ( b = BC = 1 )
Подставим известные значения в формулу:
[
(\sqrt{3})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(C)
]
посчитаем это:
[
3 = 1 + 1 - 2\cos(C)
]
[
3 = 2 - 2\cos(C)
]
[
3 - 2 = -2\cos(C)
]
[
1 = -2\cos(C)
]
[
\cos(C) = -\frac{1}{2}
]
Теперь найдем угол ( C ):
[
C = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ
]
Теперь найдём углы ( A ) и ( B ). Так как ( A ) и ( B ) равны:
[
A + B + C = 180^\circ
]
[
2\alpha + 120^\circ = 180^\circ
]
[
2\alpha = 60^\circ
]
[
\alpha = 30^\circ
]
Таким образом, углы треугольника ( ABC ):
[
A = 30^\circ, \quad B = 30^\circ, \quad C = 120^\circ
]
Ответ: углы треугольника ( ABC ) равны ( 30^\circ, 30^\circ, 120^\circ ).
