Найдите точку минимума функции у=27х^2-2х^3+1
Для нахождения точки минимума функции \( y = 27x^2 - 2x^3 + 1 \) нужно найти её производную и определить критические точки.
- Найдем первую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(27x^2 - 2x^3 + 1) = 54x - 6x^2. \]
- Приведем производную к видe:
\[ y' = 6x(9 - x). \]
- Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\[ 6x(9 - x) = 0. \]
Это уравнение имеет два корня:
\[ 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \]
\[ 9 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 9. \]
- Теперь проверим, является ли каждая из этих точек минимумом или максимумом, вычислив вторую производную функции:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(54x - 6x^2) = 54 - 12x. \]
Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:
- Для \( x = 0 \):
\[ y''(0) = 54 - 12 \cdot 0 = 54 > 0, \]
значит, в точке \( x = 0 \) находится минимум.
- Для \( x = 9 \):
\[ y''(9) = 54 - 12 \cdot 9 = 54 - 108 = -54 < 0, \]
значит, в точке \( x = 9 \) находится максимум.
- Теперь найдем значение функции в точке минимума:
\[ y(0) = 27(0)^2 - 2(0)^3 + 1 = 1. \]
Таким образом, точка минимума функции \( y = 27x^2 - 2x^3 + 1 \) — это \( (0, 1) \).
