Найдите точку минимума функции у=27х^2-2х^3+1

Для нахождения точки минимума функции \( y = 27x^2 - 2x^3 + 1 \) нужно найти её производную и определить критические точки. 1. Найдем первую производную функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(27x^2 - 2x^3 + 1) = 54x - 6x^2. \] 2. Приведем производную к видe: \[ y' = 6x(9 - x). \] 3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 6x(9 - x) = 0. \] Это уравнение имеет два корня: \[ 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \] \[ 9 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 9. \] 4. Теперь проверим, является ли каждая из этих точек минимумом или максимумом, вычислив вторую производную функции: \[ y'' = \frac{d}{dx}(54x - 6x^2) = 54 - 12x. \] Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную: - Для \( x = 0 \): \[ y''(0) = 54 - 12 \cdot 0 = 54 > 0, \] значит, в точке \( x = 0 \) находится минимум. - Для \( x = 9 \): \[ y''(9) = 54 - 12 \cdot 9 = 54 - 108 = -54 < 0, \] значит, в точке \( x = 9 \) находится максимум. 5. Теперь найдем значение функции в точке минимума: \[ y(0) = 27(0)^2 - 2(0)^3 + 1 = 1. \] Таким образом, точка минимума функции \( y = 27x^2 - 2x^3 + 1 \) — это \( (0, 1) \).