Для решения задачи воспользуемся характеристиками гармонических колебаний.
Груз на пружине движется по гармоническому закону, и его положение можно описать уравнением:
[ x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi) ]
где:
- ( A ) — амплитуда колебания (в нашем случае 10,5 см),
- ( \omega ) — угловая частота,
- ( t ) — время,
- ( \phi ) — начальная фаза (мы можем принять её равной 0 для простоты).
Период колебаний ( T ) связан с угловой частотой следующим образом:
[ \omega = \frac{2\pi}{T} ]
Теперь, если мы рассматриваем время ( t = \frac{1}{4} T ), подставим его в уравнение:
[ x\left(\frac{1}{4}T\right) = A \cdot \cos\left(\omega \cdot \frac{1}{4} T\right) = A \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{1}{4} T\right) = A \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = A \cdot 0 = 0 ]
Это показывает, что через 1/4 периода груз будет находиться в положении равновесия.
Теперь найдём общий путь, который прошёл груз. За 1/4 периода груз совершает полпериода колебаний от положительного максимума (в самой дальней точке от равновесия, 10,5 см) до положения равновесия (0 см) и затем продолжит движение в обратную сторону до предела (от 0 см до -10,5 см).
Таким образом, путь от положения равновесия за 1/4T — это:
- Путь от 10,5 см до 0 см: (10,5 , \text{см})
- Путь от 0 см до -10,5 см: (10,5 , \text{см})
Итак, общий путь:
[ 10,5 , \text{см} + 10,5 , \text{см} = 21 , \text{см} ]
Ответ: груз пройдёт 21 см за время 1/4T.
