1. Радиус основания цилиндра равен 2 v2 см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём цилиндра. 2. Образующая конуса равна 17 см, а…

1. Найдем объем цилиндра. Радиус основания цилиндра \( R = 2\sqrt{2} \) см. Поскольку угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания составляет 45°, высота цилиндра \( h \) будет равна радиусу основания:

\[ h = R = 2\sqrt{2} \text{ см} \]

Объем \( V \) цилиндра вычисляется по формуле:

\[ V = \pi R^2 h \]

Подставим значения:

\[ V = \pi (2\sqrt{2})^2 (2\sqrt{2}) = \pi (8)(2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2}\pi \text{ см}^3 \]

2. Далее вычислим объем конуса. Диаметр основания равен 16 см, значит радиус \( R = 8 \) см. Образующая конуса \( l = 17 \) см. Чтобы найти высоту \( h \) конуса, воспользуемся теоремой Пифагора:

\[ l^2 = R^2 + h^2 \] \[ 17^2 = 8^2 + h^2 \] \[ 289 = 64 + h^2 \] \[ h^2 = 289 - 64 = 225 \implies h = 15 \text{ см} \]

Объем конуса \( V \) вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \] \[ V = \frac{1}{3} \pi (8^2)(15) = \frac{1}{3} \pi (64)(15) = \frac{960}{3}\pi = 320\pi \text{ см}^3 \]

3. В отношении площадей поверхностей двух шаров \( S_1 : S_2 = 4 : 9 \). Площадь поверхности шара выражается как \( S = 4\pi R^2 \), где \( R \) — радиус. Поскольку площади относятся как 4:9, то:

\[ \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{4}{9} \]

Следовательно,

\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3} \]

Теперь найдем отношение объемов шаров. Объем шара выражается как \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \):

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} \]

А значит:

\[ \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \]

Таким образом, отношение объемов двух шаров равно \( 8 : 27 \).