- Найдем объем цилиндра. Радиус основания цилиндра ( R = 2\sqrt{2} ) см. Поскольку угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания составляет 45°, высота цилиндра ( h ) будет равна радиусу основания:
[
h = R = 2\sqrt{2} \text{ см}
]
Объем ( V ) цилиндра вычисляется по формуле:
[
V = \pi R^2 h
]
Подставим значения:
[
V = \pi (2\sqrt{2})^2 (2\sqrt{2}) = \pi (8)(2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2}\pi \text{ см}^3
]
- Далее вычислим объем конуса. Диаметр основания равен 16 см, значит радиус ( R = 8 ) см. Образующая конуса ( l = 17 ) см. Чтобы найти высоту ( h ) конуса, воспользуемся теоремой Пифагора:
[
l^2 = R^2 + h^2
]
[
17^2 = 8^2 + h^2
]
[
289 = 64 + h^2
]
[
h^2 = 289 - 64 = 225 \implies h = 15 \text{ см}
]
Объем конуса ( V ) вычисляется по формуле:
[
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h
]
[
V = \frac{1}{3} \pi (8^2)(15) = \frac{1}{3} \pi (64)(15) = \frac{960}{3}\pi = 320\pi \text{ см}^3
]
- В отношении площадей поверхностей двух шаров ( S_1 : S_2 = 4 : 9 ). Площадь поверхности шара выражается как ( S = 4\pi R^2 ), где ( R ) — радиус. Поскольку площади относятся как 4:9, то:
[
\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{4}{9}
]
Следовательно,
[
\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3}
]
Теперь найдем отношение объемов шаров. Объем шара выражается как ( V = \frac{4}{3} \pi R^3 ):
[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}
]
А значит:
[
\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}
]
Таким образом, отношение объемов двух шаров равно ( 8 : 27 ).
