Для решения поставленных задач, давайте последовательно выполним все шаги.
1) Орт вектора AB
Вектор AB можно найти следующим образом:
[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (1 - 3, -2 - 1, 1 + 2) = (-2, -3, 3)
]
Теперь найдем орт (перпендикуляр) к вектору AB. Одним из способов нахождения перпендикулярного вектора является использование векторного произведения с другим вектором. Однако, без другого вектора, мы не можем найти единичный перпендикуляр. Мы можем просто указать, что любая точка, которая будет перпендикулярна вектору AB, может быть найдена, например, использовав параметры.
2) Косинус угла между векторами AB и AC
Сначала найдем вектор AC:
[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-2 - 3, 1 - 1, 0 + 2) = (-5, 0, 2)
]
Теперь рассчитываем косинус угла между векторами AB и AC с помощью формулы:
[
\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}
]
Сначала найдем скалярное произведение:
[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot (-5) + (-3) \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 10 + 0 + 6 = 16
]
Теперь найдем длины векторов:
[
|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}
]
[
|\vec{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 0 + 4} = \sqrt{29}
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{16}{\sqrt{22} \cdot \sqrt{29}}
]
3) Площадь основания ABC
Для нахождения площади треугольника ABC можем использовать формулу:
[
S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|
]
Сначала найдем векторное произведение:
[
\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-2 & -3 & 3 \
-5 & 0 & 2
\end{vmatrix} = \hat{i}((-3) \cdot 2 - 3 \cdot 0) - \hat{j}((-2) \cdot 2 - 3 \cdot (-5)) + \hat{k}((-2) \cdot 0 - (-3) \cdot (-5))
]
Вычислим детерминант:
[
= \hat{i}(-6) - \hat{j}(-4 + 15) + \hat{k}(0 - 15) = \hat{i}(-6) - \hat{j}(11) - \hat{k}(15)
]
[
= (-6, -11, -15)
]
Теперь найдем его длину:
[
|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-11)^2 + (-15)^2} = \sqrt{36 + 121 + 225} = \sqrt{382}
]
Теперь
