Для нахождения жесткости пружины ( k ) используем закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия пружинного маятника состоит из кинетической энергии ( E_k ) и потенциальной энергии ( E_p ).
Кинетическая энергия ( E_k ) грузика в положении равновесия рассчитывается по формуле:
[
E_k = \frac{m v^2}{2},
]
где ( m ) — масса грузика, ( v ) — скорость грузика. Подставим известные значения:
- ( m = 20 , \text{г} = 0.02 , \text{кг} ),
- ( v = 8 , \text{м/с} ).
[
E_k = \frac{0.02 \cdot (8)^2}{2} = \frac{0.02 \cdot 64}{2} = \frac{1.28}{2} = 0.64 , \text{Дж}.
]
Потенциальная энергия ( E_p ) в растянутой (или сжатой) пружине на максимальном отклонении (в точке максимальной амплитуды) определяется формулой:
[
E_p = \frac{k A^2}{2},
]
где ( A ) — амплитуда колебаний. Нужно помнить, что вся энергия сохраняется, поэтому в положении равновесия вся потенциальная энергия переходит в кинетическую:
[
E_k = E_p.
]
Подставляем значения:
[
0.64 = \frac{k (0.05)^2}{2}.
]
Упрощаем уравнение:
[
0.64 = \frac{k \cdot 0.0025}{2}.
]
Умножаем обе стороны на 2:
[
1.28 = k \cdot 0.0025.
]
Теперь находим ( k ):
[
k = \frac{1.28}{0.0025} = 512 , \text{Н/м}.
]
Ответ: жесткость пружины равна ( 512 , \text{Н/м} ).
