Решить

Дано дифференциальное уравнение:

\[ y' = \frac{xy}{1 + x^2} + e^x \]

Для его решения можно применить метод интегрирующего множителя. Уравнение имеет вид:

\[ y' - \frac{xy}{1 + x^2} = e^x \]

Это линейное уравнение первого порядка, стандартная форма которого:

\[ y' + p(x)y = q(x) \]

Где \( p(x) = -\frac{x}{1 + x^2} \) и \( q(x) = e^x \).

Шаги решения:

1. Нахождение интегрирующего множителя:

   Интегрирующий множитель \(\mu(x)\) находится по формуле:

   \[ \mu(x) = e^{\int p(x) \, dx} \]

   В нашем случае:

   \[ \int p(x) \, dx = \int -\frac{x}{1 + x^2} \, dx \]

   Можно воспользоваться заменой переменной или разложением дроби:

   \[ u = 1 + x^2,\quad du = 2x \, dx \]

   Тогда:

   \[ \int -\frac{x}{1 + x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = -\frac{1}{2} \ln |u| + C = -\frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C \]

   Значит:

   \[ \mu(x) = e^{-\frac{1}{2} \ln (1 + x^2)} = (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} \]

2. Умножение уравнения на интегрирующий множитель:

   Умножаем всё уравнение на \((1 + x^2)^{-\frac{1}{2}}\):

   \[ (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} y' - (1 + x^2)^{-\frac{3}{2}} xy = (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} e^x \]

   Это делается, чтобы левая часть уравнения стала полной производной:

   \[ \frac{d}{dx}\left((1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} y \right) = (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} e^x \]

3. Интегрирование обеих частей:

   Интегрируем обе части уравнения:

   \[ (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} y = \int (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} e^x \, dx + C \]

   Решение интеграла правой части может потребовать методов спецификации (например, численные методы или разложения в ряд).

4. Решение для \( y \):

   После нахождения интеграла выразите \( y \) в явной форме.

Этот процесс даст вам аналитическое (или численное) решение рассматриваемого обыкновенного дифференциального уравнения.