Дано: (\sin a = -\frac{5}{12}) и (π < a < \frac{3\pi}{2}). Это означает, что угол (a) находится во третьей четверти, где синус отрицательный, а косинус и тангенс отрицательные.
Чтобы найти (\cos a), используем основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Подставим (\sin a):
[
\left(-\frac{5}{12}\right)^2 + \cos^2 a = 1
]
[
\frac{25}{144} + \cos^2 a = 1
]
[
\cos^2 a = 1 - \frac{25}{144}
]
Преобразуем 1 в дробь с общим знаменателем:
[
\cos^2 a = \frac{144}{144} - \frac{25}{144} = \frac{119}{144}
]
Теперь найдем (\cos a):
[
\cos a = -\sqrt{\frac{119}{144}} = -\frac{\sqrt{119}}{12}
]
(Отрицательный корень, поскольку (a) находится в третьей четверти.)
Теперь найдем тангенс и котангенс:
[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{5}{12}}{-\frac{\sqrt{119}}{12}} = \frac{5}{\sqrt{119}}
]
Теперь найдем котангенс:
[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\sqrt{119}}{5}
]
Итак, окончательные результаты:
- (\cos a = -\frac{\sqrt{119}}{12})
- (\tan a = \frac{5}{\sqrt{119}})
- (\cot a = \frac{\sqrt{119}}{5})
