Для нахождения значений ( \sin a ), ( \cos a ) и ( \cot a ) при условии, что ( \tan a = \frac{3}{4} ) и ( 0 < a < \frac{\pi}{2} ), мы можем использовать тригонометрическую связь:
[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}
]
Если ( \tan a = \frac{3}{4} ), мы можем рассматривать это как отношение противолежащего и прилежащего катетов. Пусть противолежащий катет равен 3, а прилежащий катет равен 4. Теперь мы можем найти длину гипотенузы ( c ) с помощью теоремы Пифагора:
[
c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
Теперь мы можем найти ( \sin a ) и ( \cos a ):
[
\sin a = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3}{5}
]
[
\cos a = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{5}
]
Теперь найдем ( \cot a ):
[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}
]
Итак, значения:
[
\sin a = \frac{3}{5}, \quad \cos a = \frac{4}{5}, \quad \cot a = \frac{4}{3}
]
