№2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см² S∆ = ½а.в; где а и в Катеты А
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \).
Согласно условиям задачи у нас есть два уравнения:
Сумма катетов: \[ a + b = 23 \]
Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2}ab = 60 \]
Из второго уравнения выразим произведение катетов: \[ ab = 120 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( a + b = 23 \)
- \( ab = 120 \)
Для решения системы уравнений можно выразить \( b \) из первого уравнения: \[ b = 23 - a \]
Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ a(23 - a) = 120 \] Раскроем скобки: \[ 23a - a^2 = 120 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 23a + 120 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение, используя дискриминант: \[ D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \]
Находим корни уравнения: \[ a = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{23 \pm 7}{2} \]
Получаем два значения: \[ a_1 = \frac{30}{2} = 15 \] \[ a_2 = \frac{16}{2} = 8 \]
Теперь найдем \( b \): Если \( a = 15 \), то \( b = 23 - 15 = 8 \). Если \( a = 8 \), то \( b = 23 - 8 = 15 \).
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны \( 15 \) см и \( 8 \) см.
