В прямоугольном треугольнике ( ABC ) с прямым углом в ( C ) и углом ( B ), мы знаем, что ( \sin B = \frac{1}{6} ) и длина стороны ( CB = \sqrt{7} ).
Согласно определению синуса, мы имеем:
[
\sin B = \frac{AC}{AB}
]
где ( AC ) — противолежащая сторона к углу ( B ), а ( AB ) — гипотенуза.
Таким образом, из формулы синуса можем выразить ( AC ):
[
AC = AB \cdot \sin B = AB \cdot \frac{1}{6}
]
Кроме того, по теореме Пифагора:
[
AB^2 = AC^2 + CB^2
]
Теперь подставим ( AC ):
[
AB^2 = \left( AB \cdot \frac{1}{6} \right)^2 + (\sqrt{7})^2
]
[
AB^2 = AB^2 \cdot \frac{1}{36} + 7
]
Умножим все на 36, чтобы избавиться от дробей:
[
36AB^2 = AB^2 + 252
]
Переносим все слагаемые в одну сторону:
[
36AB^2 - AB^2 - 252 = 0
]
[
35AB^2 - 252 = 0
]
Теперь решим это уравнение:
[
35AB^2 = 252
]
[
AB^2 = \frac{252}{35} = 7.2
]
[
AB = \sqrt{7.2} \approx 2.68
]
Теперь подставим значение ( AB ) в формулу для ( AC ):
[
AC = AB \cdot \frac{1}{6} = \sqrt{7.2} \cdot \frac{1}{6} \approx \frac{2.68}{6} \approx 0.45
]
Таким образом, мы нашли длины сторон:
- ( AB \approx 2.68 )
- ( AC \approx 0.45 )
Итак, все значения найдены:
- ( AB \approx 2.68 )
- ( AC \approx 0.45 )
