одна из сторон прямоугольника на 2см больше другого а его диагональ равна 5 см. Найти периметр прямоугольника

Обозначим одну из сторон прямоугольника как \( x \) см. Тогда другая сторона будет равна \( x + 2 \) см.

По теореме Пифагора, диагональ \( d \) прямоугольника можно выразить как:

\[ d = \sqrt{x^2 + (x + 2)^2} \]

Зная, что диагональ равна 5 см, получаем уравнение:

\[ 5 = \sqrt{x^2 + (x + 2)^2} \]

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

\[ 25 = x^2 + (x + 2)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 25 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) \]

Соберем все слагаемые:

\[ 25 = 2x^2 + 4x + 4 \]

Переносим 25 на правую сторону:

\[ 0 = 2x^2 + 4x + 4 - 25 \]

Упрощаем:

\[ 0 = 2x^2 + 4x - 21 \]

Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 16 + 168 = 184 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 2} \]

Упростим \(\sqrt{184}\):

\[ \sqrt{184} = \sqrt{4 \cdot 46} = 2\sqrt{46} \]

Теперь подставляем это в формулу:

\[ x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{46}}{4} = \frac{-1 \pm \frac{\sqrt{46}}{2}}{1} \]

Оставим только положительный корень, так как длина стороны не может быть отрицательной:

\[ x = -1 + \frac{\sqrt{46}}{2} \]

Теперь находим вторую сторону:

\[ x + 2 = 1 + \frac{\sqrt{46}}{2} \]

Периметр \( P \) прямоугольника рассчитывается по формуле:

\[ P = 2(x + (x + 2)) = 2(2x + 2) = 4(x + 1) \]

Подставляем значение \( x \):

\[ P = 4\left(-1 + \frac{\sqrt{46}}{2} + 1\right) = 4\left(\frac{\sqrt{46}}{2}\right) = 2\sqrt{46} \]

Приблизительно:

\[ P \approx 2 \times 6.78 \approx 13.56 \text{ см} \]

Таким образом, периметр прямоугольника равен \( 2\sqrt{46} \) см.