Обозначим одну из сторон прямоугольника как ( x ) см. Тогда другая сторона будет равна ( x + 2 ) см.
По теореме Пифагора, диагональ ( d ) прямоугольника можно выразить как:
[
d = \sqrt{x^2 + (x + 2)^2}
]
Зная, что диагональ равна 5 см, получаем уравнение:
[
5 = \sqrt{x^2 + (x + 2)^2}
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
25 = x^2 + (x + 2)^2
]
Раскроем скобки:
[
25 = x^2 + (x^2 + 4x + 4)
]
Соберем все слагаемые:
[
25 = 2x^2 + 4x + 4
]
Переносим 25 на правую сторону:
[
0 = 2x^2 + 4x + 4 - 25
]
Упрощаем:
[
0 = 2x^2 + 4x - 21
]
Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 16 + 168 = 184
]
Теперь находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 2}
]
Упростим (\sqrt{184}):
[
\sqrt{184} = \sqrt{4 \cdot 46} = 2\sqrt{46}
]
Теперь подставляем это в формулу:
[
x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{46}}{4} = \frac{-1 \pm \frac{\sqrt{46}}{2}}{1}
]
Оставим только положительный корень, так как длина стороны не может быть отрицательной:
[
x = -1 + \frac{\sqrt{46}}{2}
]
Теперь находим вторую сторону:
[
x + 2 = 1 + \frac{\sqrt{46}}{2}
]
Периметр ( P ) прямоугольника рассчитывается по формуле:
[
P = 2(x + (x + 2)) = 2(2x + 2) = 4(x + 1)
]
Подставляем значение ( x ):
[
P = 4\left(-1 + \frac{\sqrt{46}}{2} + 1\right) = 4\left(\frac{\sqrt{46}}{2}\right) = 2\sqrt{46}
]
Приблизительно:
[
P \approx 2 \times 6.78 \approx 13.56 \text{ см}
]
Таким образом, периметр прямоугольника равен ( 2\sqrt{46} ) см.
