Диагональ прямоугольника равна 20. 20. Если меньшую сторону прямоугольника увеличить на 4 , 4, а бо́льшую уменьшить на 4 , 4, то диагональ не изменится. Найдите стороны…

Пусть меньшее основание прямоугольника равно \( a \), а большее основание — \( b \). Тогда по теореме Пифагора для диагонали, равной 20, мы имеем:

\[ a^2 + b^2 = 20^2 = 400. \]

Также по условию заданы изменения сторон:

• Меньшая сторона увеличивается на 4: \( a + 4 \).
• Большая сторона уменьшается на 4: \( b - 4 \).

Согласно условию, диагональ не изменится, тогда новое уравнение будет:

\[ (a + 4)^2 + (b - 4)^2 = 400. \]

Раскроим скобки во втором уравнении:

\[ (a^2 + 8a + 16) + (b^2 - 8b + 16) = 400. \]

Подставим \( a^2 + b^2 = 400 \):

\[ 400 + 8a - 8b + 32 = 400. \]

Упростим это уравнение:

\[ 8a - 8b + 32 = 0. \]

Сократим на 8:

\[ a - b + 4 = 0, \] что эквивалентно

\[ a - b = -4, \] или

\[ a = b - 4. \]

Теперь подставим \( a = b - 4 \) в уравнение \( a^2 + b^2 = 400 \):

\[ (b - 4)^2 + b^2 = 400. \]

Раскроем скобки:

\[ b^2 - 8b + 16 + b^2 = 400. \]

Соберем подобные:

\[ 2b^2 - 8b + 16 = 400. \]

Упростим уравнение:

\[ 2b^2 - 8b - 384 = 0. \]

Разделим на 2:

\[ b^2 - 4b - 192 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение по формуле:

\[ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 768}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{784}}{2}. \]

Поскольку \( \sqrt{784} = 28 \), получаем:

\[ b = \frac{4 \pm 28}{2}. \]

Рассмотрим два случая:

1. \( b = \frac{32}{2} = 16 \)
2. \( b = \frac{-24}{2} = -12 \) (это невозможно, так как длины сторон не могут быть отрицательными)

Следовательно, \( b = 16 \). Теперь найдем \( a \):

\[ a = b - 4 = 16 - 4 = 12. \]

Таким образом, стороны прямоугольника равны \( 12 \) и \( 16 \).