Пусть меньшее основание прямоугольника равно ( a ), а большее основание — ( b ). Тогда по теореме Пифагора для диагонали, равной 20, мы имеем:
[
a^2 + b^2 = 20^2 = 400.
]
Также по условию заданы изменения сторон:
- Меньшая сторона увеличивается на 4: ( a + 4 ).
- Большая сторона уменьшается на 4: ( b - 4 ).
Согласно условию, диагональ не изменится, тогда новое уравнение будет:
[
(a + 4)^2 + (b - 4)^2 = 400.
]
Раскроим скобки во втором уравнении:
[
(a^2 + 8a + 16) + (b^2 - 8b + 16) = 400.
]
Подставим ( a^2 + b^2 = 400 ):
[
400 + 8a - 8b + 32 = 400.
]
Упростим это уравнение:
[
8a - 8b + 32 = 0.
]
Сократим на 8:
[
a - b + 4 = 0,
]
что эквивалентно
[
a - b = -4,
]
или
[
a = b - 4.
]
Теперь подставим ( a = b - 4 ) в уравнение ( a^2 + b^2 = 400 ):
[
(b - 4)^2 + b^2 = 400.
]
Раскроем скобки:
[
b^2 - 8b + 16 + b^2 = 400.
]
Соберем подобные:
[
2b^2 - 8b + 16 = 400.
]
Упростим уравнение:
[
2b^2 - 8b - 384 = 0.
]
Разделим на 2:
[
b^2 - 4b - 192 = 0.
]
Решим это квадратное уравнение по формуле:
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 768}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{784}}{2}.
]
Поскольку ( \sqrt{784} = 28 ), получаем:
[
b = \frac{4 \pm 28}{2}.
]
Рассмотрим два случая:
- ( b = \frac{32}{2} = 16 )
- ( b = \frac{-24}{2} = -12 ) (это невозможно, так как длины сторон не могут быть отрицательными)
Следовательно, ( b = 16 ). Теперь найдем ( a ):
[
a = b - 4 = 16 - 4 = 12.
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны ( 12 ) и ( 16 ).
