На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Для доказательства равенства хорд \( AB \) и \( AC \) в описанном случае воспользуемся свойствами кругов и теоремой о равенстве хорд, проведенных из одной точки. 1. Обозначим радиус окружности \( r \) и пункт \( C \)— противоположную точку к точке \( B \) (то есть, точка \( C \) лежит на диаметре \( BC \)). 2. Так как угол \( AOB \) является прямым, это означает, что треугольник \( AOB \) является прямоугольным. 3. С учетом того, что \( OB \) и \( OA \) — радиусы окружности, имеем: \[ OA = OB = r. \] 4. Можно доказать, что точки \( A \), \( B \), и \( C \) находятся на одной окружности, но также можем применять другой подход. 5. Согласно признаку равенства хорд в окружности, если две хорды равны, то их середины находятся на одном расстоянии от центра окружности. 6. \( M \) — середина отрезка \( AB \), а \( N \) — середина отрезка \( AC \). 7. С точки зрения симметрии, так как \( O \) — центр окружности, а угол \( AOB \) — прямой, то \( OM \perp AB \) и \( ON \perp AC \). 8. \( M \) и \( N \) находятся на одной вертикальной линии, что также говорит о том, что расстояния от центра \( O \) до середин \( M \) и \( N \) равны. 9. Следовательно, применяя теорему о равенстве хорд, имеем, что \( AB = AC \). Таким образом, мы доказали, что хорд \( AB \) и \( AC \) равны.