На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Для доказательства равенства хорд \( AB \) и \( AC \) в описанном случае воспользуемся свойствами кругов и теоремой о равенстве хорд, проведенных из одной точки.

1. Обозначим радиус окружности \( r \) и пункт \( C \)— противоположную точку к точке \( B \) (то есть, точка \( C \) лежит на диаметре \( BC \)).
2. Так как угол \( AOB \) является прямым, это означает, что треугольник \( AOB \) является прямоугольным.
3. С учетом того, что \( OB \) и \( OA \) — радиусы окружности, имеем: \[ OA = OB = r. \]
4. Можно доказать, что точки \( A \), \( B \), и \( C \) находятся на одной окружности, но также можем применять другой подход.
5. Согласно признаку равенства хорд в окружности, если две хорды равны, то их середины находятся на одном расстоянии от центра окружности.
6. \( M \) — середина отрезка \( AB \), а \( N \) — середина отрезка \( AC \).
7. С точки зрения симметрии, так как \( O \) — центр окружности, а угол \( AOB \) — прямой, то \( OM \perp AB \) и \( ON \perp AC \).
8. \( M \) и \( N \) находятся на одной вертикальной линии, что также говорит о том, что расстояния от центра \( O \) до середин \( M \) и \( N \) равны.
9. Следовательно, применяя теорему о равенстве хорд, имеем, что \( AB = AC \).

Таким образом, мы доказали, что хорд \( AB \) и \( AC \) равны.