Площади поверхностей двух шаров относятся как 4: 9. Найдите отношение их объёмов Реши задачу развернуто

Для решения задачи используем формулы для площадей и объёмов шаров.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: \[ S = 4\pi r^2, \] где \( S \) — площадь поверхности, а \( r \) — радиус шара.

Объём шара вычисляется по формуле: \[ V = \frac{4}{3}\pi r^3, \] где \( V \) — объём шара.

Дано, что площади поверхностей двух шаров относятся как 4:9. Пусть радиусы этих шаров обозначим как \( r_1 \) и \( r_2 \). Тогда мы можем записать:

\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9}. \]

Из этого соотношения можем выразить отношение радиусов:

\[ \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}. \]

Теперь найдем отношение объёмов этих шаров. Подставляем радиусы в формулу для объёма:

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3}. \]

Теперь подставим найденное отношение радиусов:

\[ \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}. \]

Таким образом, отношение объёмов двух шаров равно:

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{27}. \]

Итак, ответ: отношение объёмов двух шаров составляет \( \frac{8}{27} \).