Для решения задачи используем формулы для площадей и объёмов шаров.
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
[ S = 4\pi r^2, ]
где ( S ) — площадь поверхности, а ( r ) — радиус шара.
Объём шара вычисляется по формуле:
[ V = \frac{4}{3}\pi r^3, ]
где ( V ) — объём шара.
Дано, что площади поверхностей двух шаров относятся как 4:9. Пусть радиусы этих шаров обозначим как ( r_1 ) и ( r_2 ). Тогда мы можем записать:
[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9}.
]
Из этого соотношения можем выразить отношение радиусов:
[
\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}.
]
Теперь найдем отношение объёмов этих шаров. Подставляем радиусы в формулу для объёма:
[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3}.
]
Теперь подставим найденное отношение радиусов:
[
\frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}.
]
Таким образом, отношение объёмов двух шаров равно:
[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{27}.
]
Итак, ответ: отношение объёмов двух шаров составляет ( \frac{8}{27} ).
