решить простым способом и с графиком {xy+3=0 {y=x²+2
Для решения системы уравнений
\[ \begin{cases} xy + 3 = 0 \\ y = x^2 + 2 \end{cases} \]
мы сначала выразим \(y\) из первого уравнения:
\[ xy + 3 = 0 \implies xy = -3 \implies y = \frac{-3}{x} \quad (x \neq 0) \]
Теперь мы можем подставить это выражение для \(y\) во второе уравнение:
\[ \frac{-3}{x} = x^2 + 2 \]
Теперь умножим обе стороны на \(x\) (учитывая, что \(x \neq 0\)):
\[ -3 = x^3 + 2x \]
Переносим все в одну сторону уравнения:
\[ x^3 + 2x + 3 = 0 \]
Теперь мы можем решить это кубическое уравнение. Попробуем найти корни с помощью метода подбора. Пробуем корень \(x = -1\):
\[ (-1)^3 + 2(-1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 \]
Таким образом, \(x = -1\) является корнем. Теперь мы можем разложить многочлен на множители:
\[ x^3 + 2x + 3 = (x + 1)(x^2 - x + 3) \]
Теперь решим уравнение \(x^2 - x + 3 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 \]
Так как дискриминант меньше нуля, этот квадратный многочлен не имеет вещественных корней. Таким образом, единственный вещественный корень данной системы — \(x = -1\).
Подставляем \(x = -1\) в одно из уравнений, чтобы найти \(y\):
\[ y = x^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3 \]
Таким образом, точка пересечения графиков \(y = \frac{-3}{x}\) и \(y = x^2 + 2\) — это \((-1, 3)\).
Для построения графиков:
- График \(y = \frac{-3}{x}\) — гипербола, имеющая асимптоты \(x = 0\) и \(y = 0\).
- График \(y = x^2 + 2\) — парабола, проходящая через точку (0, 2) и имеющая минимум в этой точке.
На графике эти два уравнения пересекаются только в точке \((-1, 3)\).
Вот как будет выглядеть график:
- Парабола \(y = x^2 + 2\).
- Гипербола \(y = \frac{-3}{x}\).
- Пересечение в точке \((-1, 3)\).
Для реальной визуализации рекомендую использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков.
