Решить простым способом и с графиком {xy+3=0 {y=x²+2

Для решения системы уравнений \[ \begin{cases} xy + 3 = 0 \\ y = x^2 + 2 \end{cases} \] мы сначала выразим \(y\) из первого уравнения: \[ xy + 3 = 0 \implies xy = -3 \implies y = \frac{-3}{x} \quad (x \neq 0) \] Теперь мы можем подставить это выражение для \(y\) во второе уравнение: \[ \frac{-3}{x} = x^2 + 2 \] Теперь умножим обе стороны на \(x\) (учитывая, что \(x \neq 0\)): \[ -3 = x^3 + 2x \] Переносим все в одну сторону уравнения: \[ x^3 + 2x + 3 = 0 \] Теперь мы можем решить это кубическое уравнение. Попробуем найти корни с помощью метода подбора. Пробуем корень \(x = -1\): \[ (-1)^3 + 2(-1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 \] Таким образом, \(x = -1\) является корнем. Теперь мы можем разложить многочлен на множители: \[ x^3 + 2x + 3 = (x + 1)(x^2 - x + 3) \] Теперь решим уравнение \(x^2 - x + 3 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 \] Так как дискриминант меньше нуля, этот квадратный многочлен не имеет вещественных корней. Таким образом, единственный вещественный корень данной системы — \(x = -1\). Подставляем \(x = -1\) в одно из уравнений, чтобы найти \(y\): \[ y = x^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3 \] Таким образом, точка пересечения графиков \(y = \frac{-3}{x}\) и \(y = x^2 + 2\) — это \((-1, 3)\). Для построения графиков: 1. График \(y = \frac{-3}{x}\) — гипербола, имеющая асимптоты \(x = 0\) и \(y = 0\). 2. График \(y = x^2 + 2\) — парабола, проходящая через точку (0, 2) и имеющая минимум в этой точке. На графике эти два уравнения пересекаются только в точке \((-1, 3)\). Вот как будет выглядеть график: - Парабола \(y = x^2 + 2\). - Гипербола \(y = \frac{-3}{x}\). - Пересечение в точке \((-1, 3)\). Для реальной визуализации рекомендую использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков.