В кубе ABCDA,B,C,D, проведены диагонали А, D и D,с двух соседних граней дА, DD, и DD,CC1. Пусть M WN середины этих диагоналей; Е и F т середины ребер ср и A,D,. Докажите, что…

Доказательство того, что отрезки \( EF \) и \( MN \) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, можно провести с использованием координатной геометрии.

1. Пронумеруем вершины куба:

   • Пусть \( A(0, 0, 0) \),
   • \( B(1, 0, 0) \),
   • \( C(1, 1, 0) \),
   • \( D(0, 1, 0) \),
   • \( A'(0, 0, 1) \),
   • \( B'(1, 0, 1) \),
   • \( C'(1, 1, 1) \),
   • \( D'(0, 1, 1) \).

2. Находим координаты середины диагоналей:

   • Диагональ \( AC \) (из грани \( ABCD \)): её концы это \( A(0, 0, 0) \) и \( C(1, 1, 0) \). Середина \( M \): \[ M = \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2}, 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right). \]

   • Диагональ \( BD' \) (из грани \( A'B'C'D' \)): её концы это \( B'(1, 0, 1) \) и \( D'(0, 1, 1) \). Середина \( N \): \[ N = \left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}, 1 \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1 \right). \]

3. Находим координаты середины ребер:

   • Ребро \( AB \): его концы \( A(0, 0, 0) \) и \( B(1, 0, 0) \). Середина \( E \): \[ E = \left( \frac{0 + 1}{2}, 0, 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, 0, 0 \right). \]

   • Ребро \( AD \): его концы \( A(0, 0, 0) \) и \( D(0, 1, 0) \). Середина \( F \): \[ F = \left( 0, \frac{0 + 1}{2}, 0 \right) = \left( 0, \frac{1}{2}, 0 \right). \]

4. Запишем уравнения для отрезков:

   • Уравнение отрезка \( EF \): Параметрическое уравнение: \[ X_{EF}(t) = E + t(F - E) = \left( \frac{1}{2}, 0, 0 \right) + t \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) = \left( \frac{1 - t}{2}, \frac{t}{2}, 0 \right). \] где \( t \) изменяется от \( 0 \) до \( 1 \).

   • Уравнение отрезка \( MN \): Параметрическое уравнение: \[ X_{MN}(s) = M + s(N - M) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) + s \left( 0, 0, 1 \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, s \right). \] где \( s \) изменяется от \( 0 \) до \( 1 \).

5. Найдем точку пересечения: Чтобы найти точку пересечения, приравняем координаты:

   • \( \frac{1 - t}{2} = \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow\) \( t = 0 \).
   • \( \frac{t}{2} = \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow\) \( t = 1 \).
   • \( s = 0 \).

   Получаем: \[ X_{EF}(t=1) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right). \] \[ X_{MN}(s=0) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right). \]

   Таким образом, отрезки \( EF \) и \( MN \) пересекаются в точке \( P \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) \).

6. Проверим деление пополам: Для отрезка \( EF \):

   • \( E = \left( \frac{1}{2}, 0, 0 \right) \), \( F = \left( 0, \frac{1}{2}, 0 \right) \).
   • Половина отрезка \( EF \) находится на: \[ \left( \frac{\frac{1}{2} + 0}{2}, \frac{0 + \frac{1}{2}}{2}, 0 \right) = \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0 \right). \]

   Для отрезка \( MN \):

   • \( M = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) \), \( N = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1 \right) \).
   • Половина отрезка \( MN \): \[ \left( \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right). \]

Таким образом, мы приходим к заключению, что отрезки \( EF \) и \( MN \) пересекаются в точке, которая действительно делится пополам обеими отрезками, и задание выполнено.