Чтобы построить график функции ( y = |x^2 - 2x - 3| ), сначала определим, где выражение внутри модуля равно нулю:
[
x^2 - 2x - 3 = 0
]
Решим квадратное уравнение, используя формулу корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
]
Таким образом, мы получаем корни:
[
x_1 = 3, \quad x_2 = -1
]
Теперь мы можем изучить, как выглядит функция ( y = x^2 - 2x - 3 ):
При ( x < -1 ) (например, ( x = -2 )):
[
y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5
]
При ( -1 < x < 3 ) (например, ( x = 0 )):
[
y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 \Rightarrow |y| = 3
]
При ( x > 3 ) (например, ( x = 4 )):
[
y = 4^2 - 2 \cdot 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5
]
Теперь получаем график функции ( y = |x^2 - 2x - 3| ):
- Для ( x < -1 ): ( y = x^2 - 2x - 3 ) – это парабола, открытая вверх, выше оси абсцисс.
- Для ( -1 \leq x \leq 3 ): ( y = - (x^2 - 2x - 3) ) – это тоже парабола, но перевернута, и её вершина находится на оси абсцисс.
- Для ( x > 3 ): снова ( y = x^2 - 2x - 3 ) – это парабола, открытая вверх, выше оси абсцисс.
Теперь определим, сколько общих точек может быть у графика с прямой, параллельной оси абсцисс (т. е. ( y = k )):
- Если ( k > 3 ), то прямая будет пересекаться с двумя верхними частями параболы.
- Если ( k = 3 ), прямая пересекает точки на верхней параболе и вершину вниз (точка 3).
- Если ( 0 < k < 3 ), то снова пересечение будет происходить в двух точках.
- Если ( k = 0 ), прямая пересекает график в точках ( -1 ) и ( 3 ) (всего 2 пересечения).
- Если ( k < 0 ), прямая вообще не пересекает график.
Таким образом, максимальное количество общих точек графика функции ( y = |x^2 - 2x - 3| ) с прямой, параллельной оси абсцисс, составляет 4 точки:
- 2 точки в области ( k > 3 ) (верхние ветви) и 2 точки в области ( 0 < k < 3 ) (нижняя ветвь) – общее количество 4.
