Постройте график функции у = | х2 - 2х - 3 |. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Чтобы построить график функции \( y = |x^2 - 2x - 3| \), сначала определим, где выражение внутри модуля равно нулю:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Решим квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Таким образом, мы получаем корни:
\[ x_1 = 3, \quad x_2 = -1 \]
Теперь мы можем изучить, как выглядит функция \( y = x^2 - 2x - 3 \):
При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \]
При \( -1 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 \Rightarrow |y| = 3 \]
При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \[ y = 4^2 - 2 \cdot 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \]
Теперь получаем график функции \( y = |x^2 - 2x - 3| \):
- Для \( x < -1 \): \( y = x^2 - 2x - 3 \) – это парабола, открытая вверх, выше оси абсцисс.
- Для \( -1 \leq x \leq 3 \): \( y = - (x^2 - 2x - 3) \) – это тоже парабола, но перевернута, и её вершина находится на оси абсцисс.
- Для \( x > 3 \): снова \( y = x^2 - 2x - 3 \) – это парабола, открытая вверх, выше оси абсцисс.
Теперь определим, сколько общих точек может быть у графика с прямой, параллельной оси абсцисс (т. е. \( y = k \)):
- Если \( k > 3 \), то прямая будет пересекаться с двумя верхними частями параболы.
- Если \( k = 3 \), прямая пересекает точки на верхней параболе и вершину вниз (точка 3).
- Если \( 0 < k < 3 \), то снова пересечение будет происходить в двух точках.
- Если \( k = 0 \), прямая пересекает график в точках \( -1 \) и \( 3 \) (всего 2 пересечения).
- Если \( k < 0 \), прямая вообще не пересекает график.
Таким образом, максимальное количество общих точек графика функции \( y = |x^2 - 2x - 3| \) с прямой, параллельной оси абсцисс, составляет 4 точки:
- 2 точки в области \( k > 3 \) (верхние ветви) и 2 точки в области \( 0 < k < 3 \) (нижняя ветвь) – общее количество 4.
