реши задачу

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды, мы используем формулу:

\[ V = \frac{1}{3} S \cdot h, \]

где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

1. Площадь основания

Основание — правильный треугольник со стороной \( 8\sqrt{3} \). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2, \]

где \( a \) — сторона треугольника.

Подставим значение:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (8\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 192 = 144. \]

2. Высота пирамиды

Двугранный угол при основании равен \( 60^\circ \). Используя свойства правильной пирамиды, можем выразить высоту через апофему \( l \) и данный угол.

Вспоминаем, что \(\tan \alpha = \frac{h}{r} \), где \( r \) — радиус описанной окружности основания: \[ r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8. \]

Для угла \( \alpha = 60^\circ \):

\[ \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \]

поэтому:

\[ \sqrt{3} = \frac{h}{8}, \]

откуда:

\[ h = 8\sqrt{3}. \]

3. Объем пирамиды

Подставим значения в формулу объёма:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8\sqrt{3} = \frac{1152\sqrt{3}}{3} = 384\sqrt{3}. \]

Ответ: \( 384\sqrt{3} \).