Реши задачу

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды, мы используем формулу: \[ V = \frac{1}{3} S \cdot h, \] где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. 1. **Площадь основания** Основание — правильный треугольник со стороной \( 8\sqrt{3} \). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2, \] где \( a \) — сторона треугольника. Подставим значение: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (8\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 192 = 144. \] 2. **Высота пирамиды** Двугранный угол при основании равен \( 60^\circ \). Используя свойства правильной пирамиды, можем выразить высоту через апофему \( l \) и данный угол. Вспоминаем, что \(\tan \alpha = \frac{h}{r} \), где \( r \) — радиус описанной окружности основания: \[ r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8. \] Для угла \( \alpha = 60^\circ \): \[ \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \] поэтому: \[ \sqrt{3} = \frac{h}{8}, \] откуда: \[ h = 8\sqrt{3}. \] 3. **Объем пирамиды** Подставим значения в формулу объёма: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8\sqrt{3} = \frac{1152\sqrt{3}}{3} = 384\sqrt{3}. \] Ответ: \( 384\sqrt{3} \).