Для решения задачи определим, что абонент выбирает последнюю цифру номера телефона из 10 возможных вариантов (0, 1, 2, ..., 9). Нам нужно найти вероятность того, что правильная цифра будет выбрана не более чем за три попытки.
Исходя из условия задачи, вероятность выбора правильной цифры в любой попытке составляет ( \frac{1}{10} ), а вероятность выбора неправильной цифры — ( \frac{9}{10} ).
Теперь рассмотрим случаи, при которых правильный номер будет выбран не более чем за три попытки:
Успех с первой попытки: Вероятность этого события равна ( \frac{1}{10} ).
Успех со второй попытки: Для этого абонент должен сначала выбрать неправильную цифру (вероятность ( \frac{9}{10} )) и затем правильно выбрать её со второй попытки (вероятность ( \frac{1}{10} )). Вероятность этого события:
[
P(\text{успех со второй попытки}) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{9}{100}
]
Успех с третьей попытки: Для этого абонент должен дважды выбрать неправильную цифру и затем правильно выбрать её с третьей попытки. Вероятность этого события:
[
P(\text{успех с третьей попытки}) = \left(\frac{9}{10}\right)^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{81}{1000}
]
Теперь сложим все вероятности:
[
P(\text{успех за 3 попытки}) = P(\text{успех с первой}) + P(\text{успех со второй}) + P(\text{успех с третьей})
]
Подставим значения:
[
P(\text{успех за 3 попытки}) = \frac{1}{10} + \frac{9}{100} + \frac{81}{1000}
]
Для удобства сложим дроби, приведя их к общему знаменателю (1000):
[
P(\text{успех за 3 попытки}) = \frac{100}{1000} + \frac{90}{1000} + \frac{81}{1000} = \frac{271}{1000}
]
Таким образом, вероятность того, что абонент выберет правильную цифру не более чем за три попытки, равна ( \frac{271}{1000} ) или 0.271.
