Решить неравенство с методом интервалов : (10х+3)(17-х)(х-5)>0
Чтобы решить неравенство \((10x + 3)(17 - x)(x - 5) > 0\) методом интервалов, следует выполнить следующие шаги:
Найти нули выражения: Для этого решим каждый множитель на ноль:
\[ 10x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{10} \] \[ 17 - x = 0 \implies x = 17 \] \[ x - 5 = 0 \implies x = 5 \]
Таким образом, корни: \(x = -\frac{3}{10}\), \(x = 5\), \(x = 17\).
Построить числовую ось и выделить интервалы: Корни делят числовую ось на четыре интервала:
- \( (-\infty, -\frac{3}{10}) \)
- \( (-\frac{3}{10}, 5) \)
- \( (5, 17) \)
- \( (17, +\infty) \)
Определить знак выражения на каждом интервале: Выберем по одному тестовому значению из каждого интервала и подставим его в неравенство:
Для интервала \((- \infty, -\frac{3}{10})\), выберем \(x = -1\): \[ (10(-1) + 3)(17 - (-1))( -1 - 5) = (-10 + 3)(18)(-6) = (-7)(18)(-6) > 0 \]
Для интервала \((- \frac{3}{10}, 5)\), выберем \(x = 0\): \[ (10(0) + 3)(17 - 0)(0 - 5) = (3)(17)(-5) < 0 \]
Для интервала \((5, 17)\), выберем \(x = 10\): \[ (10(10) + 3)(17 - 10)(10 - 5) = (100 + 3)(7)(5) > 0 \]
Для интервала \((17, +\infty)\), выберем \(x = 18\): \[ (10(18) + 3)(17 - 18)(18 - 5) = (180 + 3)(-1)(13) < 0 \]
Собрать результаты: Мы имеем:
- На интервале \((- \infty, -\frac{3}{10})\) знак положительный: \(> 0\)
- На интервале \((- \frac{3}{10}, 5)\) знак отрицательный: \(< 0\)
- На интервале \((5, 17)\) знак положительный: \(> 0\)
- На интервале \((17, +\infty)\) знак отрицательный: \(< 0\)
Записать решение: Так как нас интересует, где произведение больше нуля (\(> 0\)), решение будет:
\[ (-\infty, -\frac{3}{10}) \cup (5, 17) \]
- Проверить включения/исключения нулей: Так как неравенство строгое (больше нуля), нули \(x = -\frac{3}{10}\), \(x = 5\) и \(x = 17\) не включаются в решение.
Итак, окончательное решение:
\[ x \in (-\infty, -\frac{3}{10}) \cup (5, 17) \]
