Давайте продолжим решать неравенство ( \log_{0.5}(x^2 - x - 6) \geq 1 ).
Мы уже установили, что ( \log_{0.5}(x^2 - x - 6) ) убывает. Поэтому, чтобы решить неравенство ( \log_{0.5}(x^2 - x - 6) \geq 1 ), достаточно решить неравенство:
[
x^2 - x - 6 \leq 0.5
]
Теперь приведем обе стороны неравенства к общему виду:
[
x^2 - x - 6 - 0.5 \leq 0
]
[
x^2 - x - 6.5 \leq 0
]
Теперь найдем корни квадратного уравнения ( x^2 - x - 6.5 = 0 ) с помощью дискриминанта:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6.5) = 1 + 26 = 27
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{27}}{2} = \frac{1 \pm 3\sqrt{3}}{2}
]
Корни будут:
[
x_1 = \frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2}
]
Теперь нужно определить промежутки, на которых неравенство ( x^2 - x - 6.5 \leq 0 ) выполняется. Поскольку парабола открыта вверх, неравенство будет выполняться между корнями:
[
\frac{1 - 3\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2}
]
Итак, полный ответ с учетом условия определения (ОДЗ) и найденных промежутков будет выглядеть следующим образом:
[
x \in \left[ \frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}, \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2} \right]
]
Проверьте, что оба корня удовлетворяют условиям ОДЗ, и вы получите окончательное решение.
