Пусть скорость первого теплохода равна ( v ) км/ч. Тогда время, которое он потратит на путь от пристани А до пристани Б, можно выразить как:
[
t_1 = \frac{192}{v}
]
Второй теплоход отправился через 4 часа после первого и имеет скорость ( v + 4 ) км/ч. Время, которое он потратит на путь, будет:
[
t_2 = \frac{192}{v + 4}
]
Так как оба теплохода прибыли одновременно, то время в пути первого теплохода больше времени в пути второго теплохода на 4 часа:
[
t_1 - t_2 = 4
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{192}{v} - \frac{192}{v + 4} = 4
]
Умножим обе стороны на ( v(v + 4) ), чтобы избавиться от дробей:
[
192(v + 4) - 192v = 4v(v + 4)
]
Упростим уравнение:
[
768 = 4v^2 + 16v
]
Переносим все на одну сторону:
[
4v^2 + 16v - 768 = 0
]
Разделим уравнение на 4:
[
v^2 + 4v - 192 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784
]
Итак, дискриминант положительный, и мы можем найти корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 28}{2}
]
Решения:
[
v_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad v_2 = \frac{-32}{2} = -16
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем:
[
v = 12 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость первого теплохода составляет 12 км/ч.
