Для решения задачи начнем с обозначений: пусть длина стороны квадрата равна ( a ), тогда площадь квадрата равна ( a^2 ). Каждый из четырех полукругов имеет радиус ( r = \frac{a}{2} ), т.к. они расположены по сторонам квадрата.
Площадь одного полукруга будет равна:
[
S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}
]
Так как у нас четыре полукруга, общая площадь полукругов будет равна:
[
S_{\text{полукругов}} = 4 \cdot S_{\text{полукруга}} = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{8} = \frac{\pi a^2}{2}
]
Вся площадь клумбы, состоящей из квадрата и четырех полукругов, будет равна:
[
S_{\text{клумбы}} = S_{\text{квадрата}} + S_{\text{полукругов}} = a^2 + \frac{\pi a^2}{2}
]
По условию задачи, площадь клумбы равна приблизительно 640 м², поэтому:
[
a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = 640
]
Находим общий множитель:
[
a^2 \left(1 + \frac{\pi}{2}\right) = 640
]
Подставим значение (\pi \approx 3.14):
[
1 + \frac{3.14}{2} \approx 1 + 1.57 = 2.57
]
Теперь у нас получается следующее уравнение:
[
a^2 \cdot 2.57 = 640
]
Следовательно:
[
a^2 = \frac{640}{2.57} \approx 248.24
]
Теперь найдем (a):
[
a \approx \sqrt{248.24} \approx 15.7 \text{ м}
]
Теперь находим радиус полукругов (r = \frac{a}{2}):
[
r \approx \frac{15.7}{2} \approx 7.85 \text{ м}
]
Теперь вычислим длину забора вокруг клумбы. Забор будет располагаться по периметру, который состоит из четырех сторон квадрата и двух полных кругов (п поскольку каждую пару полукругов можно представить как полный круг):
[
P = 4a + 2\pi r
]
Подставляем значение радиуса и стороны квадрата:
[
P = 4 \cdot 15.7 + 2 \cdot 3.14 \cdot 7.85
]
Вычисляем:
- Длина сторон квадрата: (4 \cdot 15.7 \approx 62.8)
- Длина полукругов: (2 \cdot 3.14 \cdot 7.85 \approx 49.4)
Теперь складываем:
[
P \approx 62.8 + 49.4 \approx 112.2 \text{ м}
]
Таким образом, ответ на вопросы:
- Длина стороны квадрата ( a \approx 15.7 ) м.
- Радиус полукругов ( r \approx 7.85 ) м.
- Декоративный забор необходимо в длине около ( 112.2 ) м.
