реши

Для решения этой задачи используем данные о пропорциях и параллельных отрезках.

1. Дано:

   • Точки \( M \), \( N \), \( P \) лежат на сторонах \( AB \), \( BC \), \( CA \) соответственно.
   • \( MN \parallel AC \), \( NP \parallel AB \).
   • Пропорция \( PN : MN = 2 : 3 \).
   • \( AM = AP \).
   • \( AB = a \), \( AC = b \), \( \angle BAC \) общая для треугольников \( AMN \) и \( PAB \).

2. Необходимо найти стороны четырёхугольника \( AMNP \).

3. Решение:

   1. Разделим отрезок \( AB \) на части: \( AB = AM + MB \).

   2. Поскольку \( AM = AP \) и \( \angle BAC \) общая, получаем, что треугольники \( AMN \) и \( APB \) подобны.

   3. Используем пропорции подобия и параллельности: \[ \frac{AM}{AP} = \frac{MN}{NP} = \frac{2}{3} \]

   4. Из условия \( AB = 10 \, см \), \( AC = 15 \, см \), можно выразить \( a = 10 \), \( b = 15 \).

   5. Используем равенство: \[ AM + MB = 10 \] \[ AM = \frac{2}{5} \times 15 = 6 \, см \] Поскольку \( AM = AP \), то \( AP = 6 \, см \).

   6. Найдем \( MN \) и \( NP \): \[ MN = \frac{3}{5} \times 15 = 9 \, см \] \[ NP = \frac{2}{5} \times 15 = 6 \, см \]

   7. Таким образом, длины сторон четырёхугольника \( AMNP \) равны: \( AM = 6 \, см \), \( MN = 9 \, см \), \( NP = 6 \, см \), \( AP = 6 \, см \).

В итоге, стороны четырёхугольника \( AMNP \) составляют 6 см, 9 см, 6 см и 6 см.