№ 2 В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 найди синус угла между диагональю BD1 и плоскостью (A1C1C).

Чтобы найти синус угла между диагональю BD1 и плоскостью (A1C1C), сначала определим координаты вершин куба ABCDA1B1C1D1 с заданным ребром 3. Пусть: - A(0, 0, 0) - B(3, 0, 0) - C(3, 3, 0) - D(0, 3, 0) - A1(0, 0, 3) - B1(3, 0, 3) - C1(3, 3, 3) - D1(0, 3, 3) Теперь определим вектор диагонали BD1: - Вектор BD1 = D1 - B = (0, 3, 3) - (3, 0, 0) = (-3, 3, 3). Теперь найдем векторы, которые лежат в плоскости A1C1C. В этой плоскости можно взять два вектора: 1. Вектор A1C1 = C1 - A1 = (3, 3, 3) - (0, 0, 3) = (3, 3, 0). 2. Вектор A1C = C - A1 = (3, 3, 0) - (0, 0, 3) = (3, 3, -3). Теперь найдем нормаль к плоскости, вычислив векторное произведение векторов A1C1 и A1C. Векторы A1C1 = (3, 3, 0) и A1C = (3, 3, -3): \[ \text{N} = \text{A1C1} \times \text{A1C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 3 & 0 \\ 3 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot (-3) - 0 \cdot 3) - \mathbf{j}(3 \cdot (-3) - 0 \cdot 3) + \mathbf{k}(3 \cdot 3 - 3 \cdot 3) \] \[ = -9\mathbf{i} + 9\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-9, 9, 0). \] Теперь приведем этот вектор к единичной длине: \[ |\text{N}| = \sqrt{(-9)^2 + 9^2 + 0^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}. \] Нормализуем вектор N: \[ \hat{N} = \left(-\frac{9}{9\sqrt{2}}, \frac{9}{9\sqrt{2}}, 0\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right). \] Теперь найдем длину вектора BD1: \[ |BD1| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}. \] Теперь найдем скалярное произведение вектор BD1 и нормаля N: \[ BD1 \cdot N = (-3, 3, 3) \cdot (-9, 9, 0) = (-3)(-9) + (3)(9) + (3)(0) = 27 + 27 + 0 = 54. \] Теперь мы можем найти угол между вектором BD1 и нормалью N: \[ \cos \theta = \frac{BD1 \cdot N}{|BD1| \cdot |N|} = \frac{54}{(3\sqrt{3})(9\sqrt{2})} = \frac{54}{27\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}. \] Теперь найдем синус угла: \[ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \] Таким образом, \[ \sin \theta = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \] Следовательно, синус угла между диагональю BD1 и плоскостью A1C1C равен: \[ \frac{1}{\sqrt{3}}. \]