Для решения задач, связанных с испытаниями Бернулли и биномиальным распределением, мы будем использовать формулу биномиального распределения:
[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, ]
где:
- ( P(X = k) ) — вероятность того, что произойдет ровно ( k ) успехов в ( n ) испытаниях,
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
- ( p ) — вероятность успеха в одном испытании,
- ( (1-p) ) — вероятность неудачи в одном испытании.
Задача 1: Испытания Бернулли с p = 0.5, n = 4
a) Вероятность того, что наступит ровно 2 успеха (( k = 2 )):
[
P(X = 2) = \binom{4}{2} (0.5)^2 (0.5)^{4-2} = \binom{4}{2} (0.5)^4 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375.
]
b) Вероятность того, что наступит ровно 1 успех (( k = 1 )):
[
P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.5)^1 (0.5)^{4-1} = \binom{4}{1} (0.5)^4 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25.
]
c) Вероятность того, что наступит ровно 3 успеха (( k = 3 )):
[
P(X = 3) = \binom{4}{3} (0.5)^3 (0.5)^{4-3} = \binom{4}{3} (0.5)^4 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25.
]
d) Вероятность того, что все испытания окончатся неудачей (( k = 0 )):
[
P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.5)^0 (0.5)^{4} = 1 \cdot 0.0625 = 0.0625.
]
Задача 2: Вероятность появления ровно трех орлов
Используем ту же формулу для бросков монеты, где ( p = 0.5 ). Запишем ответы для:
a) 3 раза (n=3, k=3):
[
P(X = 3) = \binom{3}{3} (0.5)^3 (0.5)^{3-3} = 1 \cdot (0.5)^3 = 0.125.
]
b) 7 раз (n=7, k=3):
[
P(X = 3) = \binom{7}{3} (0.5)^3 (0.5)^{7-3} = 35 \cdot (0.5)^7 = 35 \cdot 0.0078125 = 0.2734375.
]
c) 9 раз (n=9, k=3):
[
P(X = 3) = \binom{9}{3} (0.5)^3 (0.5)^{9-3} = 84 \cdot (0.5)^9 = 84 \cdot 0.001953125 = 0.1640625.
]
d) n раз (k=3):
[
P(X = 3) = \binom{n}{3} (0.5)^3 (0.5)^{n-3} = \binom{n}{3} (0.5)^{n}.
]
Задача 3: Броски игральной кости 6 раз
Используем ( p = \frac{1}{6} ) для успеха (выпадение шестерки) и ( (1 - p) = \frac{5}{6} ).
a) 3 раза (k=3):
[
P(X = 3) = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = 20 \cdot \left(\frac{1}{216}\right) \cdot \left(\frac{125}{216}\right) = 20 \cdot \frac{125}{1296} = \frac{2500}{1296} \approx 0.1929.
]
b) 5 раз (k=5):
[
P(X = 5) = \binom{6}{5} \left(\frac{1}{6}\right)^5 \left(\frac{5}{6}\right)^{1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{7776}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right) = 6 \cdot \frac{5}{7776} = \frac{30}{7776} \approx 0.00386.
]
c) 1 раз (k=1):
[
P(X = 1) = \binom{6}{1} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^{5} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{3125}{7776}\right) = 6 \cdot \frac{3125}{46656} \approx 0.0405.
]
d) 6 раз (k=6):
[
P(X = 6) = \binom{6}{6} \left(\frac{1}{6}\right)^6 \left(\frac{5}{6}\right)^{0} = 1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^6 = \frac{1}{46656} \approx 0.000021.
]
e) Ни разу (k=0):
[
P(X = 0) = \binom{6}{0} \left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^{6} = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{15625}{46656}\right) \approx 0.3349.
]
Таким образом, все вероятности рассчитаны.
