Для того чтобы лучи, падающие параллельно основанию цилиндра, пересеклись на его поверхности, необходимо учесть условия преломления света на границе раздела сред.
Обозначим:
- ( R ) — радиус основания цилиндра,
- ( n_1 ) — показатель преломления воздуха (примерно равен 1),
- ( n_2 ) — показатель преломления материала цилиндра.
Параллельные лучи света, располагаясь на расстоянии ( R ) друг от друга, проходят через границу между воздухом и материалом цилиндра. При этом один луч будет изгибаться к нормали, а другой - от неё. Угол между ними в воздухе равен ( \theta ), а в материале цилиндра — ( \phi ).
По закону Снелла:
[
n_1 \sin(\theta) = n_2 \sin(\phi)
]
Когда лучи пересекаются на боковой поверхности цилиндра, угол ( \phi ) для одного луча и угол ( \phi ) для другого луча должны быть равны. Поскольку мы имеем зеркально симметричную ситуацию, можно рассмотреть один из лучей.
Согласно геометрии, угол между лучами в точке выхода из цилиндра может быть связан с радиусом основания цилиндра. Из треугольника, построенного с учетом радиуса и расстония между лучами, можно записать:
- Основание треугольника: ( R ).
- Высота: ( R \tan(\phi) ).
Когда лучи пересекаются на боковой поверхности, высота равна расстоянию между лучами:
[
R = R \tan(\phi)
]
Это значит, что:
[
\tan(\phi) = 1 \quad \text{или} \quad \phi = 45^\circ.
]
При этом, согласно закону отражения:
[
n_1 \sin(\theta) = n_2 \sin(45^\circ).
]
Поскольку ( \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ), можно выразить ( n_2 ):
[
n_2 = n_1 \cdot \sqrt{2}.
]
Таким образом, подставляя ( n_1 = 1 ):
[
n_2 = \sqrt{2} \approx 1.414.
]
Следовательно, показатель преломления материала цилиндра, при котором параллельные лучи пересекаются на его поверхности, равен около ( \sqrt{2} ).
