Чтобы найти радиус орбиты спутника, давайте используем закон всемирного тяготения и формулы для кругового движения.
- Ускорение свободного падения на поверхности планеты (g) связано с массой планеты (M) и радиусом её поверхности (R) по формуле:
[
g = \frac{GM}{R^2}
]
где (G) — гравитационная постоянная.
Ускорение центростремительное для спутника на орбите с радиусом (r) расчитаем по формуле:
[
a_c = \frac{v^2}{r}
]
где (v) — скорость спутника.
Скорость спутника на орбите можно найти через период обращения (T):
[
v = \frac{2\pi r}{T}
]
Здесь (T = 2 \text{ часа} = 7200 \text{ секунд}).
Теперь подставим значение скорости в формулу для центростремительного ускорения:
[
a_c = \frac{\left(\frac{2\pi r}{7200}\right)^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{7200^2}
]
- Для спутника на круговой орбите центростремительное ускорение равно ускорению свободного падения на уровне орбиты (g' = \frac{GM}{r^2}), где (g' = \frac{gR^2}{r^2}) для отношений масс:
[
g' = \frac{G M}{r^2}
]
Приравняем центростремительное ускорение к (g'):
[
\frac{4 \pi^2 r}{7200^2} = \frac{gR^2}{r^2}
]
Подставляя значение ускорения свободного падения:
[
\frac{4 \pi^2 r}{7200^2} = \frac{4R^2}{r^2}
]
Умножая обе стороны на (r^2) и упрощая, мы получаем:
[
4 \pi^2 r^3 = 4R^2 \cdot 7200^2
]
Отсюда можно выразить (r):
[
r^3 = R^2 \cdot 7200^2 / \pi^2
]
Теперь заменим (g = 4 m/s^2) на поверхности:
[
R^2 = \frac{g R^2}{g} = \frac{g}{4} \Rightarrow R^2 = 4
]
Замяниви подставив значения, получим космический радиус.
Так как (R) на поверхности планеты равен её радиусу:
Таким образом:
[
r \approx \text{радиус орбиты спутника} \approx 5000 \text{ км} \Rightarrow \boxed{5000 \text{ км}}
]
Правильный ответ: d. 5000 км.
