Для нахождения нормального (centripetal) ускорения точки на окружности, необходимо воспользоваться формулой нормального ускорения:
[
a_n = \frac{v^2}{R}
]
где ( v ) — мгновенная скорость точки, ( R ) — радиус окружности.
Сначала найдем скорость точки в момент времени ( t = 3 ) сек. Мы знаем, что путь ( s ) выражается как:
[
s = 10 \sin(\pi t)
]
Для нахождения скорости ( v ) нужно взять производную функции пути ( s ) по времени ( t ):
[
v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}[10 \sin(\pi t)] = 10 \pi \cos(\pi t)
]
Теперь подставим ( t = 3 ) в уравнение для скорости:
[
v(3) = 10 \pi \cos(\pi \cdot 3) = 10 \pi \cos(3\pi) = 10 \pi \cdot (-1) = -10 \pi
]
Теперь подставим значение скорости в формулу нормального ускорения:
[
a_n = \frac{(-10 \pi)^2}{R} = \frac{100 \pi^2}{10} = 10 \pi^2
]
Следовательно, нормальное ускорение в момент ( t = 3 ) сек:
[
a_n \approx 10 \cdot 9.87 \approx 98.7 \text{ см/с}^2
]
Таким образом, нормальное ускорение в момент времени ( t = 3 ) секунды равно приблизительно ( 98.7 , \text{см/с}^2 ).
