Типовой расчет по теме "Метод координат в пространстве" ЗАДАНИЯ 1. Найдите координаты вектора АВ. Укажите координаты противоположного ему вектора. 2. Напишите разложение вектора…
Типовой расчет по теме "Метод координат в пространстве" ЗАДАНИЯ 1. Найдите координаты вектора АВ. Укажите координаты противоположного ему вектора. 2. Напишите разложение вектора ВС по векторам i,j,k. 3. Найлите коордшнаты векторов = AB-CA; m = AB+ a p 4. Вычислите длину вектора т. 5. ВК - медиана треугольника АВС. Найдите ее длину 7. Р - точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите координаты точки Р. Вычислите косинус угла С. 8. Найдите площадь треугольника АВС. Под каким углом к линии перемещения направлена сила F, если на прямолинейном пути от точки А до точки в совершили 4 ед. работы? 10. Цель ограничена точками А, В, С. Определить количество снарядов, необходимое для полного разрушения цели, если известно, что для полного разрушения 1кв. единицы площади цели необходимо п - снарядов. Таблица No 1 Таблица данных для типового расчета по вариантам No-B A B C α ק F А(ед. раб.) n (2; 2; 7) (0; 0; 6) (-2; 5; 7) -2 {1:-1:1} (-2;-6;3) 10,5 2 2 (3; 3; -1) (5; 1; -2) (4; 1; 1;) 2 (1;2,5;2,5) (0;-8;6) 15 4 3 (7; 0; 2) (7; 1; 3) (8; -1; 2) -8 (-0,5;-0,5;-0,25} {1;-2;2} 3 6 4 (0; 2; -4) (8; 2; 2) (6; 2; 4) 0,5 {2;2;-6) (6;-8;0} 50 2 5. (3; 3; -1) (5; 1; -2) (4; 1; -3) - 0,2 -6;6;4 {-2;0;0} √√27 8 6 (1,5;1;-2) (2; 2; -3) (2; 0; -1) -0,25 {3;2;4} {1;0;-4} 4,25 6 7 (9; 3; -5) (2,10;-5) (2;3;2) 0,2 {4,5;1,5;-2,5} {-6;2;3} 49 3 8 (-5; 2; 0) (-4; 3; 0) (-5; 2;-2)-0,2 {8;6;-4} {0;3;4} 25 5 9 (1; -1; 4) (1; 2; 5) (-2;-1;5) -3 {2;-2;8} -3;4; √15 10 6 10 (3;-2; 1) (2; -2; 3) (2; 2; 2) 4 {-1,5;1;-0,5} -5;4;-2 7,5 4 11 (1; -1; 2) (3; 2; -4) (-3;-1;-2)-0,5 {6;8;-4} (2:0:0 √147 12 (2;-7;1) (6;-4;1) (5;-7;-3) 2 (-1;3,5;-0,5} {0;-2;0} √75 3 3 13 (√31-2) (0;-1;1) (0;4;0) -2 2√3;4;-6 (0;-1;1) 4 8 14 (3:0;0) (0;-4;0) (0;0;-1) 2 {1:2;-4} {6;-8;0) 25 10 15 (-6:0;0) (0;8;0) (0;0;2) -0,5 {2;2;-2} (0:2:0) √300 3 16 (4;-2;3) (-1;1;2) (0;6;5) -4 (-2;1;-1,5} 4;-3;√10 35 4 17 (3:2√2-1) (1;√2;-1) (2;0;3) -4 {1,5; √2; -0,5} {-1;1;-1} 3 8 18 (1;-2;-1) (2;0;-2) (1;1;2) 0,5 {-- 2;4;2} {1;–2;1} √√27 3 19 (4;4;0) (0;3;4) (1;4;-4) -3 {1;-1;-3} (-1;-8;1) 33 6 20 (3;-1;2) (2;-1:4) (3;-1;0) -2 (1,5;0,5;-1} {-2;4;-5} 7,5 13 21 (3;2;-1) (2;-1;-3) (-1;-3;2) 0,5 {6;4;-3} {3;-2;1} √147 4 22 (0;1:-1) (-1;0;1) (0;-1;0) -0,2 {5;-10;15} 1:-1:4 9 2 23 (3;-2;1) (-2;1;3) (1;3;-2) 0,5 (6;-4:2} {-5;2;3} 19 3 23 24 (3;-1;2) (1;2;-1) (-1;1;-3) -0,5 (6;2;-4} -3;-1;1) 11 6. 25 (8:0:6) (8;-4;6) (6;-2;5) -0,2 (3;-5;7) 1,2,√3 8 2 26 (-1;4;1) (5;2;-1) (3;4;-2) 0,5 (7:4;-5) 1:-1:3 √363 27 (-1;-2;4) 28 (3;-2;1) (1;1;5) (-2;0;7) (-3;-2;5) 0,25 (-4;-2;0) -2 {1,5;-1;2} {7; – 3;3} 12,5 10 40 1 {-8;4;-2} 1-5;4) 21 5 29 (2;4;5) (-3;2;2) (-1;0;3) -0,5 {1;-4;2} {1;-1;6} 19 2 30 (10;-2;8) (8;0;7) (10;2;8) 0,3 {-5;0;4} 3-1;√√2 9 4
Для выполнения расчетов по заданным заданиям, необходимо использовать координаты точек A, B и C из таблицы данных. Давайте возьмем вариант № 1 из таблицы:
- A(2; 2; 7)
- B(0; 0; 6)
- C(-2; 5; 7)
Теперь решим задания последовательно:
Задание 1: Найдите координаты вектора AB и противоположный ему вектор.
Вектор \( \overrightarrow{AB} \) вычисляется по формуле: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0, 0, 6) - (2, 2, 7) = (-2, -2, -1) \] Противоположный вектор \( -\overrightarrow{AB} = (2, 2, 1) \).
Задание 2: Напишите разложение вектора BC по векторам i, j, k.
Вектор \( \overrightarrow{BC} \) вычисляется так: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-2, 5, 7) - (0, 0, 6) = (-2, 5, 1) \]
Разложение вектора \( \overrightarrow{BC} \) по векторам i, j, k: \[ \overrightarrow{BC} = -2i + 5j + 1k \]
Задание 3: Найдите координаты векторов \( \mathbf{m} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} \) и \( \mathbf{p} = \overrightarrow{AB} + a \overrightarrow{p} \).
Первый вектор: \[ \overrightarrow{CA} = A - C = (2, 2, 7) - (-2, 5, 7) = (4, -3, 0) \] Теперь считаем: \[ \mathbf{m} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} = (-2, -2, -1) - (4, -3, 0) = (-6, 1, -1) \]
Для второго вектора, если предположить, что \( a = 1 \) и \( \overrightarrow{p} = (0, -2, 0) \), \[ \mathbf{p} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{p} = (-2, -2, -1) + (0, -2, 0) = (-2, -4, -1) \]
Задание 4: Вычислите длину вектора \( \mathbf{t} \).
Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]
Задание 5: ВК - медиана треугольника ABC. Найдите ее длину.
Координаты средней точки K на стороне AC: \[ K = \frac{A + C}{2} = \frac{(2, 2, 7) + (-2, 5, 7)}{2} = (0, 3.5, 7) \]
Теперь длина медианы \( \overrightarrow{BK} \): \[ \overrightarrow{BK} = K - B = (0, 3.5, 7) - (0, 0, 6) = (0, 3.5, 1) \] Длина медианы: \[ |\overrightarrow{BK}| = \sqrt{0^2 + (3.5)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 12.25 + 1} = \sqrt{13.25} \]
Задание 6: Найдите координаты точки P - пересечения медиан треугольника.
Координаты центра масс P можно найти как средневзвешенные координаты: \[ P = \frac{A + B + C}{3} = \frac{(2, 2, 7) + (0, 0, 6) + (-2, 5, 7)}{3} = \left(\frac{0}{3}, \frac{7}{3}, \frac{20}{3}\right) = (0, \frac{7}{3}, \frac{20}{3}) \]
Задание 7: Вычислите косинус угла C.
Косинус угла C можно вычислить по формуле: \[ \cos C = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} \] Здесь необходимо сначала найти \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-2, 5, 7) - (2, 2, 7) = (-4, 3, 0) \] Теперь найдем скалярное произведение: \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2)(-4) + (-2)(3) + (-1)(0) = 8 - 6 = 2 \) Далее длины: \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)
Теперь подставляйте найденные значения в формулу: \[ \cos C = \frac{2}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15} \]
Задание 8: Найдите площадь треугольника ABC.
Площадь треугольника можно найти через векторное произведение: \[ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \] Для начала найдем векторное произведение. Векторные координаты: \[ \overrightarrow{AB} = (-2, -2, -1), \quad \overrightarrow{AC} = (-4, 3, 0) \] Используем определитель для вычисления: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -2 & -2 & -1 \\ -4 & 3 & 0 \end{vmatrix} \] Вычисляя определитель, получаем: \[ = i((-2)(0) - (-1)(3)) - j((-2)(0) - (-1)(-4)) + k((-2)(3) - (-2)(-4)) = (3)i - (4)j + (-6 - 8)k = (3, -4, -14) \] Теперь найдем длину: \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-14)^2} = \sqrt{9 + 16 + 196} = \sqrt{221} \] Значит, площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{221} \]
Эти расчеты следует проверить для корректности и точности. Пожалуйста, дайте знать, если вам нужно больше пояснений или помощь с другими заданиями!
