. а) Прямая АВ – касательная к окружности с центром в точке О. АВ=2 см, ∠АОВ=45°. Найдите радиус ОА. б) Прямая АВ – касательная к окружности с центром в точке О. АВ=15 см,…

Чтобы решить задачи, используем свойства касательной и радиуса окружности.

При условии, что прямая \(AB\) является касательной к окружности с центром в точке \(O\), а \(A\) – точка касания, по теореме о касательной и радиусе, угол между радиусом \(OA\) и касательной \(AB\) равен 90°. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник \(OAB\), где:

• \(OA\) - радиус окружности,
• \(AB\) - длина касательной,
• \(OB\) - расстояние от центра окружности до точки \(B\).

При этом \(AB\) и \(OA\) образуют два катета, а \(OB\) является гипотенузой.

Кроме того, угол \(\angle AOB\) составляет \(45^\circ\).

В треугольнике \(OAB\) мы можем использовать синус и косинус для нахождения радиуса \(OA\).

• Рассмотрим треугольник \(OAB\): \[ \angle OAB = 90^\circ - \angle AOB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \]

Теперь можем выразить радиус \(OA\) с использованием треугольника: \[ \tan(45^\circ) = \frac{AB}{OA} \] поскольку \(\tan(45^\circ) = 1\), отсюда следует, что: \[ 1 = \frac{AB}{OA} \implies OA = AB \]

Теперь подставим данные из каждого случая.

а) \(AB = 2 \, \text{см}\): \[ OA = 2 \, \text{см} \]

б) \(AB = 15 \, \text{см}\): \[ OA = 15 \, \text{см} \]

в) \(AB = 23 \, \text{см}\): \[ OA = 23 \, \text{см} \]

Таким образом, радиус окружности \(OA\) равен:

а) 2 см

б) 15 см

в) 23 см