Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ), причем ( b ) равна 9 см. По условию, отношение стороны прямоугольника к его диагонали составляет 4:5.
Сначала найдем диагональ прямоугольника с помощью теоремы Пифагора:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Отношение сторон к диагонали можно записать как:
[
\frac{a}{d} = \frac{4}{5}
]
Из этого уравнения выразим диагональ ( d ):
[
d = \frac{5}{4}a
]
Теперь подставим это выражение для диагонали в уравнение Пифагора:
[
\frac{5}{4}a = \sqrt{a^2 + 9^2}
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
\left(\frac{5}{4}a\right)^2 = a^2 + 9^2
]
Это приведет к:
[
\frac{25}{16}a^2 = a^2 + 81
]
Умножим все уравнение на 16 для избавления от дроби:
[
25a^2 = 16a^2 + 1296
]
Соберем все на одну сторону уравнения:
[
25a^2 - 16a^2 = 1296
]
[
9a^2 = 1296
]
Разделим обе стороны на 9:
[
a^2 = 144
]
Теперь найдем ( a ):
[
a = 12 , \text{см}
]
Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника ( S ), используем формулу:
[
S = a \times b = 12 , \text{см} \times 9 , \text{см} = 108 , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь прямоугольника равна ( 108 , \text{см}^2 ).
