сторона прямоугольника относится к Его диагонали как 4:5 другая сторона равна 9 см найдите площадь прямоугольника

Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \), причем \( b \) равна 9 см. По условию, отношение стороны прямоугольника к его диагонали составляет 4:5.

Сначала найдем диагональ прямоугольника с помощью теоремы Пифагора:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Отношение сторон к диагонали можно записать как:

\[ \frac{a}{d} = \frac{4}{5} \]

Из этого уравнения выразим диагональ \( d \):

\[ d = \frac{5}{4}a \]

Теперь подставим это выражение для диагонали в уравнение Пифагора:

\[ \frac{5}{4}a = \sqrt{a^2 + 9^2} \]

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

\[ \left(\frac{5}{4}a\right)^2 = a^2 + 9^2 \]

Это приведет к:

\[ \frac{25}{16}a^2 = a^2 + 81 \]

Умножим все уравнение на 16 для избавления от дроби:

\[ 25a^2 = 16a^2 + 1296 \]

Соберем все на одну сторону уравнения:

\[ 25a^2 - 16a^2 = 1296 \]

\[ 9a^2 = 1296 \]

Разделим обе стороны на 9:

\[ a^2 = 144 \]

Теперь найдем \( a \):

\[ a = 12 \, \text{см} \]

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника \( S \), используем формулу:

\[ S = a \times b = 12 \, \text{см} \times 9 \, \text{см} = 108 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь прямоугольника равна \( 108 \, \text{см}^2 \).