Докажи что треугольник ABCD является прямоугольником найди его площадь если A ( 15;2), B ( 21;4), C ( 19;10) и D ( 13;8)

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо проверить, что его углы равны 90 градусам. Это можно сделать, используя скалярное произведение векторов. Сначала найдем координаты векторов: 1. Вектор **AB**: \[ \vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (21 - 15, 4 - 2) = (6, 2) \] 2. Вектор **BC**: \[ \vec{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y) = (19 - 21, 10 - 4) = (-2, 6) \] 3. Вектор **CD**: \[ \vec{CD} = (D_x - C_x, D_y - C_y) = (13 - 19, 8 - 10) = (-6, -2) \] 4. Вектор **DA**: \[ \vec{DA} = (A_x - D_x, A_y - D_y) = (15 - 13, 2 - 8) = (2, -6) \] Теперь проверим, является ли точка D перпендикулярной точке A и C. Для этого используем скалярное произведение векторов. 1. Проверим, перпендикулярны ли **AB** и **BC**: \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 6 \cdot (-2) + 2 \cdot 6 = -12 + 12 = 0 \] (значит, угол между AB и BC равен 90 градусам) 2. Проверим, перпендикулярны ли **BC** и **CD**: \[ \vec{BC} \cdot \vec{CD} = (-2) \cdot (-6) + 6 \cdot (-2) = 12 - 12 = 0 \] (значит, угол между BC и CD равен 90 градусам) 3. Проверим, перпендикулярны ли **CD** и **DA**: \[ \vec{CD} \cdot \vec{DA} = (-6) \cdot 2 + (-2) \cdot (-6) = -12 + 12 = 0 \] (значит, угол между CD и DA равен 90 градусам) 4. Проверим, перпендикулярны ли **DA** и **AB**: \[ \vec{DA} \cdot \vec{AB} = 2 \cdot 6 + (-6) \cdot 2 = 12 - 12 = 0 \] (значит, угол между DA и AB равен 90 градусам) Все углы равны 90 градусам, следовательно, ABCD — это прямоугольник. Теперь найдем площадь прямоугольника. Площадь можно найти, используя длины соседних сторон. Находим длины сторон: 1. Длина стороны **AB**: \[ AB = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2} = \sqrt{(21 - 15)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] 2. Длина стороны **BC**: \[ BC = \sqrt{(C_x - B_x)^2 + (C_y - B_y)^2} = \sqrt{(19 - 21)^2 + (10 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] Теперь найдем площадь: \[ \text{Площадь} = AB \cdot BC = (2\sqrt{10}) \cdot (2\sqrt{10}) = 4 \cdot 10 = 40. \] Итак, площадь прямоугольника ABCD равна 40.