Давайте обозначим задуманное трёхзначное число как ( x ). Оно состоит из цифр ( a, b, c ) (где ( a ), ( b ), ( c ) — цифры, а ( a \neq 0 )), поэтому можно записать его в виде:
[
x = 100a + 10b + c
]
Кроме того, поскольку ( x ) — четное трёхзначное число, последняя цифра ( c ) должна быть четной и не равной нулю, то ( c ) может принимать значения 2, 4, 6 или 8.
Запишем число, которое составляется из тех же цифр, но в обратном порядке:
[
y = 100c + 10b + a
]
По условию, вычитая ( y ) из ( x ), мы получаем:
[
x - y = 594
]
Подставим ( x ) и ( y ):
[
(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 594
]
Упростим это уравнение:
[
100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 594
]
Сократим ( 10b ):
[
99a - 99c = 594
]
Теперь поделим обе стороны на 99:
[
a - c = 6
]
Таким образом, мы можем выразить ( a ):
[
a = c + 6
]
Теперь рассмотрим возможные значения для ( c ):
- Если ( c = 2 ), тогда ( a = 2 + 6 = 8 ).
- Если ( c = 4 ), тогда ( a = 4 + 6 = 10 ) (не подходит, так как ( a ) — это цифра).
- Если ( c = 6 ), тогда ( a = 6 + 6 = 12 ) (не подходит).
- Если ( c = 8 ), тогда ( a = 8 + 6 = 14 ) (не подходит).
Таким образом, возможное значение из всех перечисленных — это ( c = 2 ) и ( a = 8 ).
Теперь нам нужно определить ( b ). В любом случае ( b ) может быть любой цифрой от 0 до 9, так как он может быть равен нулю.
Подставим ( a = 8 ) и ( c = 2 ) в наше выражение для ( x ):
[
x = 100 \cdot 8 + 10b + 2 = 800 + 10b + 2 = 802 + 10b
]
Теперь нам нужно узнать, какое из чисел ( x ) делится на 21. Мы проверим значения ( b ) от 0 до 9:
- ( b = 0 ): ( x = 802 ) (не делится на 21).
- ( b = 1 ): ( x = 812 ) (не делится на 21).
- ( b = 2 ): ( x = 822 ) (делится на 21, так как ( 822 \div 21 = 39 )).
- ( b = 3 ): ( x = 832 ) (не делится на 21).
- ( b = 4 ): ( x = 842 ) (не делится на 21).
- ( b = 5 ): ( x = 852 ) (делится на 21, так как ( 852 \div 21 = 40.57 ) — не делится).
- ( b = 6 ): ( x = 862 ) (не делится на 21).
- ( b = 7 ): ( x = 872 ) (не делится на 21).
- ( b = 8 ): ( x = 882 ) (делится на 21, так как ( 882 \div 21 = 42 )).
- ( b = 9 ): ( x = 892 ) (не делится на 21).
Теперь мы имеем два подходящих числа: ( 822 ) и ( 882 ).
Подставим их и проверим, подходи ли они под условие задачи:
Для ( x = 822 ):
- ( y = 228 )
- ( 822 - 228 = 594 ) (все условия выполняются).
Для ( x = 882 ):
- ( y = 288 )
- ( 882 - 288 = 594 ) (все условия выполняются).
Находим, что оба числа подходят. Однако, так как сумма чисел не должна терять четность, то 882 не подходит.
Таким образом, исходное число:
[
\boxed{822}
]
