Решите уравнения. a) x ^ 4 - 3x ^ 2 - 4 = 0 6) 3x ^ 4 - 7x ^ 2 + 4 = 0 в) (x + 2) ^ 4 - 4 * (x + 2) ^ 2 - 5 = 0
Давайте решим каждое из представленных уравнений.
a) \( x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \)
Это уравнение можно решить методом замены. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы discriminant:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Корни уравнения:
\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]
Так как \( y = x^2 \), то:
- \( y_1 = 4 \) → \( x^2 = 4 \) → \( x = \pm 2 \)
- \( y_2 = -1 \) (корни не вещественные)
Таким образом, решение уравнения:
\[ x = 2, -2 \]
b) \( 3x^4 - 7x^2 + 4 = 0 \)
Снова применим замену \( y = x^2 \):
\[ 3y^2 - 7y + 4 = 0 \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 \]
Корни уравнения:
\[ y_1 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] \[ y_2 = \frac{7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \]
Теперь вернемся к переменной \( x \):
- \( y_1 = \frac{4}{3} \) → \( x^2 = \frac{4}{3} \) → \( x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
- \( y_2 = 1 \) → \( x^2 = 1 \) → \( x = \pm 1 \)
Таким образом, общее решение:
\[ x = \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 1, -1 \]
в) \( (x + 2)^4 - 4(x + 2)^2 - 5 = 0 \)
Обозначим \( z = (x + 2)^2 \). Тогда уравнение выглядит так:
\[ z^2 - 4z - 5 = 0 \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
Корни уравнения:
\[ z_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] \[ z_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \]
Теперь вернемся к переменной \( x \):
- \( z_1 = 5 \) → \( (x + 2)^2 = 5 \) → \( x + 2 = \pm \sqrt{5} \) → \( x = -2 \pm \sqrt{5} \)
- \( z_2 = -1 \) (корни не вещественные)
Таким образом, окончательное решение:
\[ x = -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5} \]
Итоговые решения:
- \( x = 2, -2 \)
- \( x = \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 1, -1 \)
- \( x = -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5} \)
