Давайте решим каждое из представленных уравнений.
a) ( x^4 - 3x^2 - 4 = 0 )
Это уравнение можно решить методом замены. Обозначим ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:
[
y^2 - 3y - 4 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы discriminant:
[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
]
Корни уравнения:
[
y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4
]
[
y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1
]
Так как ( y = x^2 ), то:
- ( y_1 = 4 ) → ( x^2 = 4 ) → ( x = \pm 2 )
- ( y_2 = -1 ) (корни не вещественные)
Таким образом, решение уравнения:
[
x = 2, -2
]
b) ( 3x^4 - 7x^2 + 4 = 0 )
Снова применим замену ( y = x^2 ):
[
3y^2 - 7y + 4 = 0
]
Вычислим дискриминант:
[
D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1
]
Корни уравнения:
[
y_1 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
]
[
y_2 = \frac{7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1
]
Теперь вернемся к переменной ( x ):
- ( y_1 = \frac{4}{3} ) → ( x^2 = \frac{4}{3} ) → ( x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} )
- ( y_2 = 1 ) → ( x^2 = 1 ) → ( x = \pm 1 )
Таким образом, общее решение:
[
x = \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 1, -1
]
в) ( (x + 2)^4 - 4(x + 2)^2 - 5 = 0 )
Обозначим ( z = (x + 2)^2 ). Тогда уравнение выглядит так:
[
z^2 - 4z - 5 = 0
]
Вычислим дискриминант:
[
D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
]
Корни уравнения:
[
z_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5
]
[
z_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1
]
Теперь вернемся к переменной ( x ):
- ( z_1 = 5 ) → ( (x + 2)^2 = 5 ) → ( x + 2 = \pm \sqrt{5} ) → ( x = -2 \pm \sqrt{5} )
- ( z_2 = -1 ) (корни не вещественные)
Таким образом, окончательное решение:
[
x = -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}
]
Итоговые решения:
- ( x = 2, -2 )
- ( x = \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 1, -1 )
- ( x = -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5} )
