Пусть ( AC = b ), ( BC = a ) — катеты треугольника ( ABC ), где ( C ) — это прямая угол.
Согласно свойству прямоугольного треугольника, высота из вершины прямого угла ( C ) к гипотенузе ( AB ) делит ее на два отрезка ( AD ) и ( DB ). Длина гипотенузы ( AB = AD + DB = 9, \text{см} + 16, \text{см} = 25, \text{см} ).
По теореме о площадях в прямоугольном треугольнике можем записать:
[
CD^2 = AD \cdot DB
]
Подставим известные значения:
[
CD^2 = 9 \cdot 16 = 144
]
Следовательно:
[
CD = \sqrt{144} = 12, \text{см}
]
Теперь применим теорему Пифагора для нахождения длины катетов ( a ) и ( b ):
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Также из свойств отрезков гипотенузы получаем:
[
AC = \frac{AD \cdot AB}{AD + DB} = \frac{9 \cdot 25}{25} = 9, \text{см}
]
[
BC = \frac{DB \cdot AB}{AD + DB} = \frac{16 \cdot 25}{25} = 16, \text{см}
]
Таким образом, длины катетов:
[
AC = 12, \text{см} \quad \text{и} \quad BC = 16, \text{см}
]
Итак, мы получили:
- Катет ( AC = 12, \text{см} )
- Высота ( CD = 12, \text{см} )
