Чтобы решить уравнение (\frac{1}{3}x - 5 + \frac{1}{2}x^2 = 0), сначала умножим всё уравнение на 6 (наименьший общий кратное для знаменателей 3 и 2), чтобы избавиться от дробей:
[
6 \left(\frac{1}{3}x\right) - 6 \cdot 5 + 6 \left(\frac{1}{2}x^2\right) = 0
]
Это даёт:
[
2x - 30 + 3x^2 = 0
]
Теперь перепишем уравнение в стандартной форме:
[
3x^2 + 2x - 30 = 0
]
Теперь мы можем использовать формулу квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 3), (b = 2), (c = -30). Формула для нахождения корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Сначала найдём дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 4 + 360 = 364
]
Теперь найдём корни:
[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{364}}{2 \cdot 3}
]
Упростим (\sqrt{364}):
[
\sqrt{364} = \sqrt{4 \cdot 91} = 2\sqrt{91}
]
Теперь подставим это обратно в формулу:
[
x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{91}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{91}}{3}
]
Таким образом, корни уравнения:
[
x_1 = \frac{-1 + \sqrt{91}}{3}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{91}}{3}
]
