Укажи формулу вероятности события «наступило 4 успеха в серии из 14 испытаний Бернулли».

Для вычисления вероятности наступления \( k \) успехов в \( n \) испытаниях Бернулли используется биномиальное распределение. Формула для вероятности \( P(X = k) \) выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \),
• \( n \) — общее количество испытаний (в данном случае \( n = 14 \)),
• \( k \) — количество успехов (в данном случае \( k = 4 \)),
• \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании,
• \( (1 - p) \) — вероятность неуспеха.

Подставим значения в формулу:

\[ P(X = 4) = C(14, 4) \cdot p^4 \cdot (1 - p)^{14 - 4} \]

Где \( C(14, 4) \) можно вычислить как:

\[ C(14, 4) = \frac{14!}{4!(14 - 4)!} = \frac{14!}{4! \cdot 10!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001 \]

Следовательно, окончательная формула вероятности такого события будет:

\[ P(X = 4) = 1001 \cdot p^4 \cdot (1 - p)^{10} \]

Чтобы найти конкретное значение вероятности, необходимо знать параметр \( p \).