Для решения уравнения (2x^2 - 5\sqrt{2x^2 + 3x + 9} + 3x + 3 = 0) методом замены переменной сначала сделаем замену:
Обозначим:
[
y = \sqrt{2x^2 + 3x + 9}
]
Тогда квадрат этого выражения будет:
[
y^2 = 2x^2 + 3x + 9
]
Теперь перепишем уравнение, выразив (2x^2) через (y):
[
2x^2 = y^2 - 3x - 9
]
Подставим это выражение в исходное уравнение:
[
(y^2 - 3x - 9) - 5y + 3x + 3 = 0
]
Упростим это:
[
y^2 - 5y - 6 = 0
]
Теперь это квадратное уравнение можно решить по формуле дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49
]
Корни уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2}
]
Получим два корня:
- (y_1 = \frac{12}{2} = 6)
- (y_2 = \frac{-2}{2} = -1) (отрицательное значение не подходит, так как (y = \sqrt{2x^2 + 3x + 9}) всегда неотрицательно)
Таким образом, остаётся только (y = 6). Теперь подставим это значение обратно в уравнение для (y):
[
\sqrt{2x^2 + 3x + 9} = 6
]
Квадратируем обе стороны:
[
2x^2 + 3x + 9 = 36
]
Переносим все влево:
[
2x^2 + 3x - 27 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225
]
Корни уравнения:
[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 15}{4}
]
Получаем два корня:
- (x_1 = \frac{12}{4} = 3)
- (x_2 = \frac{-18}{4} = -4.5)
Таким образом, решения исходного уравнения:
[
x = 3 \quad \text{и} \quad x = -4.5
]
