решить методом замены переменной. 2х²-5√(2х²+3х+9) +3х+3=0
Для решения уравнения \(2x^2 - 5\sqrt{2x^2 + 3x + 9} + 3x + 3 = 0\) методом замены переменной сначала сделаем замену:
Обозначим: \[ y = \sqrt{2x^2 + 3x + 9} \]
Тогда квадрат этого выражения будет: \[ y^2 = 2x^2 + 3x + 9 \]
Теперь перепишем уравнение, выразив \(2x^2\) через \(y\): \[ 2x^2 = y^2 - 3x - 9 \]
Подставим это выражение в исходное уравнение: \[ (y^2 - 3x - 9) - 5y + 3x + 3 = 0 \]
Упростим это: \[ y^2 - 5y - 6 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение можно решить по формуле дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]
Корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2} \]
Получим два корня:
- \(y_1 = \frac{12}{2} = 6\)
- \(y_2 = \frac{-2}{2} = -1\) (отрицательное значение не подходит, так как \(y = \sqrt{2x^2 + 3x + 9}\) всегда неотрицательно)
Таким образом, остаётся только \(y = 6\). Теперь подставим это значение обратно в уравнение для \(y\): \[ \sqrt{2x^2 + 3x + 9} = 6 \]
Квадратируем обе стороны: \[ 2x^2 + 3x + 9 = 36 \]
Переносим все влево: \[ 2x^2 + 3x - 27 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 \]
Корни уравнения: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 15}{4} \]
Получаем два корня:
- \(x_1 = \frac{12}{4} = 3\)
- \(x_2 = \frac{-18}{4} = -4.5\)
Таким образом, решения исходного уравнения: \[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -4.5 \]
