Дан равносторонний треугольник AВC со стороной АВ = 2. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС.

Для нахождения скалярного произведения векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) в равностороннем треугольнике со стороной \( AB = 2 \), нам необходимо знать угол между этими векторами. В равностороннем треугольнике все углы равны \( 60^\circ \). Скалярное произведение векторов можно найти по формуле: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\theta), \] где \( |\vec{AB}| \) и \( |\vec{AC}| \) — длины векторов, а \( \theta \) — угол между ними. Так как \( AB = AC = 2 \), то: \[ |\vec{AB}| = 2, \quad |\vec{AC}| = 2, \quad \theta = 60^\circ. \] Теперь подставим значения в формулу: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ). \] Значение \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \). Подставим это значение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2. \] Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) равно \( 2 \).