Геометрия 10 класс

Чтобы найти косинус угла между диагональю \(A_1C\) и плоскостью \((B_1DB)\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти векторы:

   • Вектор диагонали \(A_1C\): \( \vec{A_1C} = \vec{C} - \vec{A_1} = (1, 1, 0) \).
   • Вектор плоскости \((B_1DB)\) можно найти через нормаль плоскости. Возьмем векторы, лежащие в плоскости:
     • \( \vec{B_1B} = (0, 1, 0) \)
     • \( \vec{B_1D} = (1, 0, 1) \)

2. Вычислить нормаль к плоскости \((B_1DB)\): \[ \vec{n} = \vec{B_1B} \times \vec{B_1D} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} = \vec{i} (1 - 0) - \vec{j} (0 - 0) + \vec{k} (0 - 1) = (1, 0, -1) \]

3. Найти косинус угла между \( \vec{A_1C} \) и \( \vec{n} \): \[ \cos \theta = \frac{\vec{A_1C} \cdot \vec{n}}{|\vec{A_1C}| |\vec{n}|} \]

   • Скалярное произведение: \[ \vec{A_1C} \cdot \vec{n} = (1, 1, 0) \cdot (1, 0, -1) = 1 + 0 + 0 = 1 \]

   • Длина \( \vec{A_1C} \): \[ |\vec{A_1C}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \]

   • Длина \( \vec{n} \): \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]

   • Косинус угла: \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]

Правильный ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).