В данном треугольнике ABC, где AC = BC, мы имеем равнобедренный треугольник. Угол ACD — это угол, который находится между высотой CD и стороной AC. Поскольку AC = BC, угол ACB равен углу ABC.
Дано, что (\sin ACD = \frac{2}{\sqrt{5}}).
Сначала можем вычислить (\cos ACD) с помощью тригонометрической идентичности:
[
\sin^2 ACD + \cos^2 ACD = 1
]
Подставим значение (\sin ACD):
[
\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 + \cos^2 ACD = 1
]
[
\frac{4}{5} + \cos^2 ACD = 1
]
[
\cos^2 ACD = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}
]
Таким образом:
[
\cos ACD = \frac{1}{\sqrt{5}}
]
Теперь мы знаем и синус, и косинус угла ACD. Для нахождения тангенса угла BAH, нужно рассмотреть треугольник ABH, где BH — это основание высоты из точки B.
Тангенс угла BAH можно выразить через синус и косинус:
[
\tan BAH = \frac{\sin BAH}{\cos BAH}
]
Значение угла BAH можно выразить через углы ACD и ACB. Используя свойства равнобедренного треугольника, мы можем записать, что:
[
\sin BAH = \sin ACD = \frac{2}{\sqrt{5}}
]
[
\cos BAH = \cos ACD = \frac{1}{\sqrt{5}}
]
Следовательно:
[
\tan BAH = \frac{\sin BAH}{\cos BAH} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 2
]
Таким образом, (\tan BAH = 2).
