Пусть первый член арифметической прогрессии равен ( a ), а разность прогрессии — ( d ).
Тогда:
- 2-й член прогрессии: ( a + d )
- 4-й член прогрессии: ( a + 3d )
Согласно условию задачи:
[
(a + d) + (a + 3d) = 48
]
Сложим эти два выражения:
[
2a + 4d = 48
]
Разделим всё на 2:
[
a + 2d = 24 \quad (1)
]
Теперь найдем 3-й и 5-й члены прогрессии:
- 3-й член: ( a + 2d )
- 5-й член: ( a + 4d )
Умножим 3-й и 5-й члены:
[
(a + 2d)(a + 4d) = a^2 + 6ad + 8d^2
]
Мы хотим минимизировать это произведение.
Подставим из уравнения (1):
[
a = 24 - 2d
]
Теперь подставим это значение в произведение:
[
(24 - 2d + 2d)(24 - 2d + 4d) = (24)(24 + 2d) = 576 + 48d
]
Найдем значение ( d ), при котором произведение будет минимальным. Для этого нужно понять, какое значение ( d ) нам нужно взять.
Это квадратный параболический тренд ( d ):
[
f(d) = a^2 + 6ad + 8d^2
]
который имеет минимум, когда его производная равна нулю:
[
\frac{df}{dd} = 0 \quad \text{ находите пронзительность для минимума.}
]
Так как многочлен будет положительным, можно анализировать границы. Такой подход даст возможные значения, а именно ( d = 0 ) или в пределах ( d < 12 ).
Сравнивая, от ( 0 ) до ( 12 ) находим увеличивающиеся параболы и минимизируем их. В более конкретном случае находим различие между ( a ) и ( d ) чтобы получить наименьшее значение:
Решение: Минимальная разность ( d ) может быть равна 0, и следовательно значение, полученное из 3-го и 5-го членов будет минимально.
